Question

【題目】如圖所示，正方形邊長為，將沿翻折到的位置，使得二面角的大小為.

（1）證明：平面平面；

（2）點在直線上，且直線與平面所成角正弦值為，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）根據已知可得，證明得平面，即可證明結論；

（2）由（1）得即為二面角的平面角，即，建立如下圖直角坐標系，得出坐標，設，由已知條件結合直線與平面所成角公式，求出，確定坐標，分別求出平面和平面法向量坐標，再由空間向量的二面角公式，即可求解.

（1）證明：設交于點，連接，即為中點，

又因為，所以，因為，所以

由于平面，平面，

所以平面，又因為平面，

所以平面平面.

（2）因為，

所以即為二面角的平面角，即，

得，由，

以點為原點建立如圖空間直角坐標系，

則，，，，

設，

所以

平面的一個法向量可為，

因為直線與平面所成角正弦值為

所以，

解得，所以，，

設平面的法向量為，則，

即，令，得，

因為，

設平面的法向量為，則，

即，令，得，

所以，

即二面角的余弦值為.