Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，底面△ABC為等邊三角形，∠APC=90°，PB=AC=2PA=4，O為AC的中點．
（Ⅰ）求證：BO⊥PA；
（Ⅱ）判斷在線段AC上是否存在點Q（與點O不重合），使得△PQB為直角三角形？若存在，試找出一個點Q，并求

AQ

QC

的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：對（I），先通過證線線垂直，證線面垂直，再由線面垂直證線線垂直．
對（II），在（I）基礎(chǔ)上可知平面ABC與平面PAC的垂直性，所以只需過P作交線AC的垂線，由線線垂直⇒線面垂直，再由線面垂直⇒線線垂直，證明直角三角形的存在性．在上述條件下求出

AQ

QC

的值即可．

解答：解：（Ⅰ）證明：如圖，連接PO，
在等邊△ABC中，∵O是AC的中點，且AC=4，
∴BO⊥AC，BO=2

3

．
在直角△PAC中，因為O是斜邊AC的中點，且AC=4，∴PO=2，
在△PBO中，由PB=4，得PB²=PO²+BO²，
∴PO⊥BO
又∵AC∩PO=O，AC?平面PAC，PO?平面PAC，
∴BO⊥平面PAC，（5分）
又∵PA?平面PAC，
∴BO⊥PA．                                                         （7分）
（Ⅱ）線段AC上存在點Q，使得△PQB為直角三角形．
如圖，過P作PM⊥AC于點M，連接BM，
∵BO⊥平面PAC，
∴BO⊥PM．
又∵BO∩AC=O，BO?平面ABC，AC?平面ABC，
∴PM⊥平面ABC，（10分）
∴PM⊥BM，即△PMB為直角三角形．
故當點Q與點M重合時，△PQB為直角三角形．                            （12分）
在直角△PAC中，由∠APC=90°，AC=2PA=4，PO=2，
得AM=1，（即AQ=1），MC=3（即QC=3），
∴當

AQ

QC

=

1

3

(即

AM

MC

=

1

3

)時，△PQB為直角三角形．                    （14分）

點評：本題主要考查線面垂直的判定與線面垂直的性質(zhì)．即線線垂直?線面垂直的相互轉(zhuǎn)化．
勾股定理是平面幾何中證明線線垂直的重要方法．