Question

已知函數(shù)f（x）=x²-tlnx的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程是y=kx+7．
（1）試確定函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)g（x）=-x²+14x，且f（x）與g（x）在區(qū)間（a，a+2）上均為單調(diào)增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）f（1）=1²-tln1=1，于是切線y=kx+7 過點(diǎn)（1，1），所以1=k+7∴k=-6 ，∴k=f′（1）=2-t=-6∴t=8．所以f（x）=x²-8lnx
（2）∵，且x＞0，∴x＞2 時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)0＜x＜2 時(shí)，f′（x）＜0．即f（x） 在（2，+∞） 上單調(diào)遞增，在（0，2）上單調(diào)遞減，又g（x）=-（x-7）²+49 所以g（x） 在（-∞，7）單調(diào)遞 增，所以
分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f（x）在x=1處的導(dǎo)數(shù)，得到切線的斜率，以及切點(diǎn)在函數(shù)f（x）的圖象上，建立方程組，解之即可求出t的值從而得出函數(shù)f（x）的解析式；
（2）由題意：“f（x）與g（x）在區(qū)間（a，a+2）上均為單調(diào)增函數(shù)”知：在函數(shù)的區(qū)間（a，a+2）上不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0恒成立，利用恒成立得到關(guān)于a的不等關(guān)系確定a的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值等基礎(chǔ)題知識(shí)．已知函數(shù)單調(diào)性，求參數(shù)范圍問題的常見解法；設(shè)函數(shù)f（x）在（a，b）上可導(dǎo)，若f（x）在（a，b）上是增函數(shù)，則可得f′（x）≥0，從而建立了關(guān)于待求參數(shù)的不等式，同理，若f（x）在（a，b）上是減函數(shù)，則可得f′（x）≤0．