Question

如圖，已知雙曲線(xiàn)，其右準(zhǔn)線(xiàn)交x軸于點(diǎn)A，雙曲線(xiàn)虛軸的下端點(diǎn)為B．過(guò)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)F（c，0）作垂直于x軸的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于點(diǎn)P，若點(diǎn)D滿(mǎn)足，．
（1）求雙曲線(xiàn)的離心率；
（2）若a=2，過(guò)點(diǎn)B作直線(xiàn)l分別交雙曲線(xiàn)的左支、右支于M、N兩點(diǎn)，且△OMN的面積S_△OMN=，求l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲求雙曲線(xiàn)的離心率，只需找到含a，c的齊次式，由已知，易求P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)，可判斷D點(diǎn)為FP的中點(diǎn)，再根據(jù)可找到a，b的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為含a，c的等式，即可求出離心率e的值．
（2）當(dāng)a=2時(shí)，根據(jù)（1）中所求離心率，可求出b的值，進(jìn)而求出雙曲線(xiàn)方程，根據(jù)直線(xiàn)MN過(guò)B點(diǎn)，設(shè)出直線(xiàn)MN的方程，與雙曲線(xiàn)方程聯(lián)立，解出x₁+x₂，x₁x₂，△OMN被y軸分成兩個(gè)三角形，分別求出面積，再相加，即為△OMN的面積，讓其等于題目中所給的值，可得到關(guān)于直線(xiàn)l的斜率k的方程，解出k即可．
解答：解：（1）∵B（0，-b）
∵，即D為線(xiàn)段FP的中點(diǎn)．，
∴
，即A、B、D共線(xiàn)．
而  ，，
∴，得a=2b，
∴

（2）∵a=2，而，∴b²=1，
故雙曲線(xiàn)的方程為…①
∴B、的坐標(biāo)為（0，-1）

設(shè)l的方程為y=kx-1…②
②代入①得（1-4k²）x²+8kx-8=0
由題意得：得：
設(shè)M、N的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂）
則
而==
整理得24k⁴-11k²+1=0，解得：或（舍去）
∴所求l的方程為
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了雙曲線(xiàn)離心率的求法，以及直線(xiàn)與 雙曲線(xiàn)位置關(guān)系的應(yīng)用．