Question

【題目】如圖，設(shè)橢圓： ，長(zhǎng)軸的右端點(diǎn)與拋物線(xiàn)： 的焦點(diǎn)重合，且橢圓的離心率是．

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）過(guò)作直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于， 兩點(diǎn)，過(guò)且與直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)交橢圓于另一點(diǎn)，求面積的最小值，以及取到最小值時(shí)直線(xiàn)的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）面積的最小值為9， .

【解析】試題分析：（Ⅰ）由已知求出拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)即得橢圓中的，再由離心率可求得，從而得值，得標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）本題考查圓錐曲線(xiàn)中的三角形面積問(wèn)題，解題方法是設(shè)直線(xiàn)方程為，設(shè)，把直線(xiàn)方程代入拋物線(xiàn)方程，化為的一元二次方程，由韋達(dá)定理得，由弦長(zhǎng)公式得，同樣過(guò)與直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)方程為，同樣代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理得，其中， 是點(diǎn)的橫坐標(biāo)，于是可得，這樣就可用表示出的面積， ，接著可設(shè)，用換元法把表示為的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)可求得最大值.

試題解析：

（Ⅰ）∵橢圓： ，長(zhǎng)軸的右端點(diǎn)與拋物線(xiàn)： 的焦點(diǎn)重合，

∴，

又∵橢圓的離心率是，∴， ，

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)的方程設(shè)為，設(shè)， ，

聯(lián)立得，

∴， ，

∴．

過(guò)且與直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)設(shè)為，

聯(lián)立得，

∴，故，

∴，

面積．

令，則， ，

令，則，即時(shí)， 面積最小，

即當(dāng)時(shí)， 面積的最小值為9，

此時(shí)直線(xiàn)的方程為．