Question

設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，在軸負(fù)半軸上有一點(diǎn)，滿足，且．

（1）求橢圓的離心率；

（2）若過三點(diǎn)的圓與直線相切，求橢圓的方程；

（3）在（2）的條件下，過右焦點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，線段的中垂線與軸相交于，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

（1） ；（2）；（3）．

【解析】

試題分析：（1）連接，由，，得到

,即,確定得到橢圓的離心率為；

（2）由，得，，的外接圓圓心為，半徑，

因?yàn)檫^三點(diǎn)的圓與直線相切，

，解得，即得所求．

（3）由（2）知，設(shè)直線的方程為代入橢圓方程整理得：．由已知得 恒成立．

設(shè)，由韋達(dá)定理得，

得到．

故中點(diǎn)為．

討論當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)的不同情況求解．

試題解析：（1）連接，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015022406025345073304/SYS201502240603058417465821_DA/SYS201502240603058417465821_DA.005.png">，，所以

,即,故橢圓的離心率為； 3分

（2）由（1）知，得，，的外接圓圓心為，半徑，

因?yàn)檫^三點(diǎn)的圓與直線相切，

∴，解得：，．

所以所求橢圓方程為：． 7分

（3）由（2）知，設(shè)直線的方程為：

由 得：．

因?yàn)橹本�過點(diǎn)，所以 恒成立．

設(shè)，由韋達(dá)定理得： ，

所以．

故中點(diǎn)為． 10分

當(dāng)時(shí)，為長軸，中點(diǎn)為原點(diǎn)，則； 11分

當(dāng)時(shí)，中垂線方程為．

令，得．因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015022406025345073304/SYS201502240603058417465821_DA/SYS201502240603058417465821_DA.037.png">所以． 13分

綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍是． 14分

考點(diǎn)：1．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)；2．直線與橢圓的位置關(guān)系；3．直線與圓的位置關(guān)系．