Question

7．已知$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$是夾角為60°的單位向量，2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$與k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$的夾角為120°，則實(shí)數(shù)k=-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由題意可得|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=1，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$\frac{1}{2}$，再利用兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義可得（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）•（k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|•|k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|•cos120°，解方程求得k值

解答 解：由題意可得|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=1，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=1×1×cos60°=$\frac{1}{2}$，
|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=$\sqrt{{（2•\overrightarrow{a}-\overrightarrow）}^{2}}$=$\sqrt{{4\overrightarrow{a}}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{+\overrightarrow}^{2}}$=$\sqrt{3}$，|k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{{（k\overrightarrow{a}+\overrightarrow）}^{2}}$=$\sqrt{{k\overrightarrow{a}}^{2}+2k\overrightarrow{a}•\overrightarrow{+\overrightarrow}^{2}}$=$\sqrt{{k}^{2}+k+1}$．
∵（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）•（k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|•|k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|•cos120°，
∴2k${\overrightarrow{a}}^{2}$+（2-k）•$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-${\overrightarrow}^{2}$=$\sqrt{3}$•$\sqrt{{k}^{2}+k+1}$•（-$\frac{1}{2}$），
即 2k+$\frac{2-k}{2}$-1=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$$\sqrt{{k}^{2}+k+1}$，即 4k-k=-$\sqrt{3}$•$\sqrt{{k}^{2}+k+1}$，即2k²-k-1=0，
求得k=1，或 k=-$\frac{1}{2}$．
經(jīng)過檢驗(yàn)，k=1時(shí)，4k-k=-$\sqrt{3}$•$\sqrt{{k}^{2}+k+1}$ 不成立，
故答案為：-$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，求向量的模，屬于中檔題．