Question

18．在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂=3，且a_n+1=（p+q）a_n-pqa_n-1（n≥2，q≠0）．
（Ⅰ）若p=2，設(shè)b_n=a_n+1-2a_n（n∈N^*），證明：{b_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）對(duì)任意的n∈N^*，設(shè)c_n=a_n+1-qa_n，證明：“數(shù)列{c_n}為常數(shù)列”的充要條件是“p=1”．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)p=2時(shí)，a_n+1-2a_n=qa_n-2qa_n-1=q（a_n-2a_n-1），（n≥2，q≠0），由此能證明{b_n}是等比數(shù)列．
（Ⅱ）由已知得c_n=a_n+1-qa_n=pa_n-pqa_n-1，得c_n+1=pa_n+1-pqa_n=pc_n，由數(shù)列{c_n}為常數(shù)列，能推導(dǎo)出p=1；當(dāng)p=1時(shí)，c_n=a_n+1-qa_n=a_n-qa_n-1=c_n-1，從而得到數(shù)列{c_n}為常數(shù)列．由此能證明“數(shù)列{c_n}為常數(shù)列”的充要條件是“p=1”．

解答 證明：（Ⅰ）當(dāng)p=2時(shí)，在數(shù)列{a_n}中，
a₁=1，a₂=3，且a_n+1=（2+q）a_n-2qa_n-1（n≥2，q≠0），
∴a_n+1-2a_n=qa_n-2qa_n-1=q（a_n-2a_n-1），（n≥2，q≠0），
a₂-2a₁=3-2×1=1，
b_n=a_n+1-2a_n（n∈N^*），
∴{b_n}是首項(xiàng)為1，公比為q的等比數(shù)列．
（Ⅱ）∵a₁=1，a₂=3，且a_n+1=（p+q）a_n-pqa_n-1（n≥2，q≠0），
∴c_n=a_n+1-qa_n=pa_n-pqa_n-1=p（a_n-qa_n-1）=pa_n-pqa_n-1，（n≥2，q≠0），
∴c_n+1=pa_n+1-pqa_n=p（c_n+qa_n）-pqa_n=pc_n，
∴由數(shù)列{c_n}為常數(shù)列，得p=1；
當(dāng)p=1時(shí)，a₁=1，a₂=3，且a_n+1=（1+q）a_n-qa_n-1（n≥2，q≠0）．
c_n=a_n+1-qa_n=a_n-qa_n-1=c_n-1，
∴數(shù)列{c_n}為常數(shù)列．
∴“數(shù)列{c_n}為常數(shù)列”的充要條件是“p=1”．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列為常數(shù)列的充要條件的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．