Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³-

3

2

ax²-（a-3）x+b，
（1）若函數(shù)f（x）在x=-1處取得極值-

4

3

，求實數(shù)a，b的值；
（2）若a=1，且函數(shù)f（x）在[-1，2]上恰有兩個零點，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）f′（x）=x²-3ax-（a-3），由f（x）在x=-1處取得極值-

4

3

，可得f′（-1）=0，f（-1）=-

4

3

，解出即可；
（2）先求出函數(shù)f（x）的解析式，然后研究函數(shù)f（x）在[-1，2]上的單調(diào)性，
根據(jù)函數(shù)f（x）在[-1，2]上恰有兩個零點，建立不等關系

f(-1)≤0   f(1)＞0   f(2)≤0

，最后解之即可．

解答：解：（1）f′（x）=x²-3ax-（a-3），…．（2分）
函數(shù)f（x）在x=-1處取得極值-

4

3

，
則

f′(-1)=1+3a-a+3=0 f(-1)=- 1 3 - 3 2 a+a-3+b=- 4 3

…．（6分）
解得，

a=-2 b=1

．
經(jīng)檢驗，當a=-2，b=1時函數(shù)f（x）在x=-1處取得極值…（8分）
（2）若a=1，f（x）=

1

3

x³-

3

2

x²+2x+b，f′（x）=x²-3x+2，
令f′（x）=0，得到x=1或x=2，

x	-1	（-1，1）	1	（1，2）	2
f′（x）		+		-
f（x）	b- 23 6	↗	極大值 b+ 5 6	↘	b+ 2 3

…..（11分）
由于函數(shù)f（x）在[-1，2]上恰有兩個零點

f(-1)≤0   f(1)＞0   f(2)≤0

即

b- 23 6 ≤0   b+ 5 6 ＞0   b+ 2 3 ≤0

解得-

5

6

＜b≤-

2

3

…（14分）

點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，以及函數(shù)的零點等有關基礎知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想，屬于中檔題．