Question

14．已知f（x）=x³-ax²-3x，其中a∈R．
（1）當a=4時，求f（x）在[-1，1]上的最大值；
（2）若f（x）在[1，+∞）上存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，解關(guān)于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值即可；
（2）求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出a的范圍即可．

解答 解：（1）f（x）=x³-4x²-3x，f′（x）=3x²-8x-3=（3x+1）（x-3），
∴f（x）在（-1，-$\frac{1}{3}$）上單調(diào)遞增，在（-$\frac{1}{3}$，1）上單調(diào)遞減，
∴f（x）_max=f（-$\frac{1}{3}$）=$\frac{14}{27}$；
（2）f′（x）=3x²-2ax-3，
∵f（x）在[1，+∞）上存在單調(diào)遞減區(qū)間
∴①f′（1）＜0，解得：a＞0，
②$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）≥0}\\{{x}_{0}=\frac{a}{3}＞1}\end{array}\right.$，無解，
綜上：a＞0．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．