Question

2．已知a＞0，b＞0，用下面要求的方法證明：$\frac{a}{\sqrt}$+$\frac{\sqrt{a}}$≥$\sqrt{a}$+$\sqrt$．
（1）分析法；
（2）反證法．

Answer 1

分析 （1）從結(jié)論出發(fā)，逐步尋找結(jié)論的必要條件，直到明顯的結(jié)論a²+b²≥ab；
（2）先假設(shè)原命題不成立，得出反面成立，根據(jù)反面推到，得出矛盾，從而肯定原結(jié)論成立．

解答 （1）分析法：要證$\frac{a}{\sqrt}$+$\frac{\sqrt{a}}$≥$\sqrt{a}$+$\sqrt$成立，
只需證（$\frac{a}{\sqrt}$+$\frac{\sqrt{a}}$）²≥（$\sqrt{a}$+$\sqrt$）²，
即$\frac{{a}^{2}}$+$\frac{^{2}}{a}$≥a+b
∴a³+b³≥（a+b）（ab），
即（a+b）（a²-ab+b²）≥（a+b）ab，
即a²+b²≥2ab，顯然成立，
故原命題成立；
（2）反證法：
假設(shè)原命題不成立，則$\frac{a}{\sqrt}$+$\frac{\sqrt{a}}$＜$\sqrt{a}$+$\sqrt$成立，
∴（$\frac{a}{\sqrt}$+$\frac{\sqrt{a}}$）²＜（$\sqrt{a}$+$\sqrt$）²，
∴（$\frac{a}{\sqrt}$+$\frac{\sqrt{a}}$）²＜（$\sqrt{a}$+$\sqrt$）²，
即$\frac{{a}^{2}}$+$\frac{^{2}}{a}$＜a+b
∴a³+b³＜（a+b）（ab），
即（a+b）（a²-ab+b²）＜（a+b）ab，
∴a²+b²＜2ab，與均值定理a²+b²≥2ab矛盾，
故假設(shè)不成立，所以原命題成立．

點(diǎn)評(píng) 考查了分析法和反證法的做題格式．屬于基礎(chǔ)題，應(yīng)熟練掌握．