Question

12．設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，點(diǎn)O為△ABC的外接圓的圓心，若滿足a+b≥2c．
（1）求角C的最大值；
（2）當(dāng)角C取最大值時(shí)，己知a=b=$\sqrt{3}$，點(diǎn)P為△ABC外接圓圓弧上-點(diǎn)，若$\overline{OP}=x\overline{OA}+y\overline{OB}$，求x•y的最大值．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理可以得到$cosC=\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，而由a+b≥2c即可得出-c²的范圍，從而得出a²+b²-c²的范圍，進(jìn)一步便可得到$cosC≥\frac{1}{2}$，從而有$0＜C≤\frac{π}{3}$，這便說(shuō)明角C的最大值為$\frac{π}{3}$；
（2）$C=\frac{π}{3}$時(shí)便可得出△ABC為等邊三角形，從而可求得外接圓半徑為1，并可求得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=-\frac{1}{2}$，從而對(duì)$\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$兩邊平方便可得到x²+y²=xy+1≥2xy，這樣便可得出xy的最大值．

解答 解：（1）在△ABC中由余弦定理得，$cosC=\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$；
∵a+b≥2c；
∴$-{c}^{2}≥-（\frac{a+b}{2}）^{2}=-\frac{{a}^{2}}{4}-\frac{^{2}}{4}-\frac{ab}{2}$；
∴${a}^{2}+^{2}-{c}^{2}≥\frac{3}{4}{a}^{2}+\frac{3}{4}^{2}-\frac{ab}{2}$；
∴$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}≥\frac{3}{8}（\frac{a}+\frac{a}）-\frac{1}{4}$；
∵$\frac{a}+\frac{a}≥2$，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”；
∴$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}≥\frac{1}{2}$；
即$cosC≥\frac{1}{2}$；
∴$0＜C≤\frac{π}{3}$；
∴角C的最大值為$\frac{π}{3}$；
（2）當(dāng)角C取最大值$\frac{π}{3}$時(shí)，∵$a=b=\sqrt{3}$；
∴△ABC為等邊三角形；
∴O為△ABC的中心，如圖所示，D為邊AB的中點(diǎn)，連接OD，則：
OD⊥AB，且$∠DAO=30°，AD=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∴OA=1，即外接圓半徑為1，且∠AOB=120°；
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=-\frac{1}{2}$；
∴對(duì)$\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$兩邊平方得，${\overrightarrow{OP}}^{2}={x}^{2}{\overrightarrow{OA}}^{2}+{y}^{2}{\overrightarrow{OB}}^{2}+2xy\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$；
∴1=x²+y²-xy；
∴x²+y²=xy+1≥2xy，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取“=”；
∴xy≤1；
∴x•y的最大值為1．

點(diǎn)評(píng) 考查余弦定理，不等式的性質(zhì)，基本不等式及不等式a²+b²≥2ab的運(yùn)用，以及向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，清楚三角形外接圓的概念．