Question

如圖△ABC內(nèi)接于⊙O，且AB=AC，過(guò)點(diǎn)A的直線交⊙O于點(diǎn)P，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．
（I）求證：AC²=AP•AD；
（II）若∠ABC=60°，⊙O的半徑為1，且P為弧AC的中點(diǎn)，求AD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)三角形中兩條邊相等，得到對(duì)應(yīng)的兩個(gè)底角相等，證明兩個(gè)三角形相似，相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，得到比例式，通過(guò)等量代換得到要求的等式．
（II）根據(jù)有一個(gè)頂角是60°的等腰三角形是等邊三角形，得到∠BAC=60°，從而得到∠BAP=90°，即BP是圓的直徑，在直角三角形中利用勾股定理得到結(jié)果．

解答：（I）證明：連接BP，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB又∠ACB=∠APB，
∴∠ABC=∠APB，
∴△ABP∽△ABD
∴

AB

AP

=

AD

AB

即AB²=AP•AD，
∵AB=AC，
∴AC²=AP•AD
（II）∵∠ABC=60°，AB=AC，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=60°，
∵P為為弧AC的中點(diǎn)，
∴∠ABP=∠PAC=30°，
∴∠BAP=90°，
∴BP是圓的直徑，
∴BP=2，
∴AP=

1

2

BP=1，
在直角三角形PAB中，AB²=BP²-AP²=3，
∴AD=

AB2

AP

=3

點(diǎn)評(píng)：本題考查與圓有關(guān)的比例線段，考查三角形相似和全等的判斷和性質(zhì)的應(yīng)用，本題是一個(gè)綜合題目，解題時(shí)注意題目所給的條件比較繁瑣，不要用錯(cuò)條件．