Question

如圖，△ABC內(nèi)接于圓O，AB是圓O的直徑，四邊形DCBE為平行四邊形，DC⊥平面ABC，AB=2，EB=

3

．
（Ⅰ）證明：平面ACD⊥平面ADE；
（Ⅱ）記AC=x，V（x）表示三棱錐A-CBE的體積，求函數(shù)V（x）的解析式及最大值．

Answer 1

分析：（1）利用直徑所對(duì)的圓周角為直角，線面垂直的性質(zhì)即可證明BC⊥平面ACD，再利用平行四邊形的性質(zhì)BC∥ED，得到ED⊥平面ACD，從而可得平面ACD⊥平面ADE；
（2）利用三棱錐的體積計(jì)算公式即可得出表達(dá)式，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出體積的最大值．

解答：（1）證明：∵四邊形DCBE為平行四邊形，∴CD∥BE，BC∥DE．
∵DC⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴DC⊥BC．
∵AB是圓O的直徑，∴BC⊥AC，且DC∩AC=C．
∴BC⊥平面ADC．
∵DE∥BC，∴DE⊥平面ADC．
又∵DE?平面ADE，∴平面ACD⊥平面ADE．
（2）∵DC⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC．
在Rt△ABE中，AB=2，BE=

3

．
在Rt△ABC中，∵AC=x，BC=

4-x2

（0＜x＜2）．
∴S△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

x

4-x2

，
V(x)=VE-ABC=

1

3

S△ABC•BE=

3

6

x

4-x2

（0＜x＜2）．
∵x2(4-x2)≤(

x2+4-x2

2

)2=4，當(dāng)且僅當(dāng)x²=4-x²，即x=

2

時(shí)，體積有最大值為

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握直徑所對(duì)的圓周角為直角的性質(zhì)、線面、面面垂直的判定和性質(zhì)定理、三棱錐的體積計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．