定義:若函數(shù)f(x)對于其定義域內(nèi)的某一數(shù)x0,有 f (x0)=x0,則稱x0是f (x)的一個不動點(diǎn).已知函數(shù)f(x)=ax2+(b+1)x+b-1 (a≠0).
(Ⅰ)當(dāng)a=1,b=-2時,求函數(shù)f(x)的不動點(diǎn);
(Ⅱ)若對任意的實(shí)數(shù)b,函數(shù)f(x)恒有兩個不動點(diǎn),求a的取值范圍;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,若y=f(x)圖象上兩個點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)是函數(shù)f(x)的不動點(diǎn),
且A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線y=kx+數(shù)學(xué)公式對稱,求b的最小值.

解:(Ⅰ)當(dāng)a=1,b=-2時,有f (x)=x2-x-3,
令x2-x-3=x,化簡得:x2-2x-3=0,
解得:x1=-1,或x2=3
故所求的不動點(diǎn)為-1或3.(4分)

(Ⅱ)令ax2+(b+1)x+b-1=x,則ax2+bx+b-1=0①
由題意,方程①恒有兩個不等實(shí)根,所以△=b2-4a(b-1)>0,
即b2-4ab+4a>0恒成立,(6分)
整理得b2-4ab+4a=(b-2a)2+4a-4a2>0,
故4a-4a2>0,即0<a<1(8分)

(Ⅲ)設(shè)A(x1,x1),B(x2,x2)(x1≠x2),則kAB=1,∴k=-1,
所以y=-x+,(9分)
又AB的中點(diǎn)在該直線上,所以=-+,
∴x1+x2=
而x1、x2應(yīng)是方程①的兩個根,所以x1+x2=-,即-=,
(12分)
==
∴當(dāng)a=∈(0,1)時,bmin=-1.(14分)
分析:(I)將a=1,b=-2代入f(x)=ax2+(b+1)x+b-1 (a≠0),求出f(x),令f(x)=x,解方程求不動點(diǎn)即可;
(II)由ax2+(b+1)x+b-1=x有兩個不動點(diǎn),即ax2+bx+b-1=0有兩個不等實(shí)根,可通過判別式大于0得到關(guān)于參數(shù)a,b的不等式b2-4ab+4a>0,由于此不等式恒成立,配方可得b2-4ab+4a=(b-2a)2+4a-4a2>0恒成立,將此不等式恒成立轉(zhuǎn)化為4a-4a2>0即可.
(III)由于本小題需要根據(jù)兩個點(diǎn)A、B的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化點(diǎn)關(guān)于線的對稱這一條件,故可以先設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1,x1),B(x2,x2)(x1≠x2),由斜率公式求得kAB=1,又對稱性知直線y=kx+的斜率k=-1將其代入直線的方程,可以得到x1+x2=,由此聯(lián)想到根與系數(shù)的關(guān)系,由(II)知,x1、x2應(yīng)是方程ax2+bx+b-1=0的根,故又可得x1+x2=-,至此題設(shè)中的條件轉(zhuǎn)化為-=,觀察發(fā)現(xiàn)參數(shù)b可以表示成參數(shù)a的函數(shù)即,至此,求參數(shù)b的問題轉(zhuǎn)化為求b關(guān)于a的函數(shù)最小值的問題.
點(diǎn)評:本題考點(diǎn)是二次函數(shù)的性質(zhì),主要考查二次函數(shù)、方程的基本性質(zhì)、不等式的有關(guān)知識,同時考查函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、邏輯推理能力和創(chuàng)新意識.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

給出定義:若函數(shù)f(x)在D上可導(dǎo),即f′(x)存在,且導(dǎo)函數(shù)f′(x)在D上也可導(dǎo),則稱f(x)在D上存在二階導(dǎo)函數(shù),記f″(x)=(f′(x))′,若f″(x)<0在D上恒成立,則稱f(x)在D上為凸函數(shù).以下四個函數(shù)在(0,
π
2
)
上不是凸函數(shù)的是(  )
A、f(x)=sinx+cosx
B、f(x)=lnx-2x
C、f(x)=-x3+2x-1
D、f(x)=-xe-x

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定義:若函數(shù)f(x)對于其定義域內(nèi)的某一數(shù)x0,有 f (x0)=x0,則稱x0是f (x)的一個不動點(diǎn).已知函數(shù)f(x)=ax2+(b+1)x+b-1 (a≠0).
(Ⅰ)當(dāng)a=1,b=-2時,求函數(shù)f(x)的不動點(diǎn);
(Ⅱ)若對任意的實(shí)數(shù)b,函數(shù)f(x)恒有兩個不動點(diǎn),求a的取值范圍;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,若y=f(x)圖象上兩個點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)是函數(shù)f(x)的不動點(diǎn),且A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線y=kx+
a5a2-4a+1
對稱,求b的最小值.

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給出定義:若函數(shù)f(x)在D上可導(dǎo),即f′(x)存在,且導(dǎo)函數(shù)f′(x)在D上也可導(dǎo),則稱f(x)在D上存在二階導(dǎo)函數(shù),記f″(x)=[(f′(x)]′.若f(x)>0在D上恒成立,則稱f(x)在D上為凹函數(shù).以下四個函數(shù)在(0,
π
2
)
上不是 凹函數(shù)的是( 。
A、f(x)=1-sinx
B、f(x)=ex-2x
C、f(x)=x3-x2-1
D、f(x)=-xe-x

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•廣州模擬)定義:若函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過變換T后所得圖象對應(yīng)函數(shù)的值域與f(x)的值域相同,則稱變換T是f(x)的同值變換.下面給出四個函數(shù)及其對應(yīng)的變換T,其中T不屬于f(x)的同值變換的是( 。

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給出定義:若函數(shù)f(x)在D上可導(dǎo),即f′(x)存在,且導(dǎo)函數(shù)f′(x)在D上也可導(dǎo),則稱f(x)在D上存在二階導(dǎo)函數(shù),記f″(x)=(f′(x))′.若f″(x)<0在D上恒成立,則稱f(x)在D上為上凸函數(shù).以下四個函數(shù)在(0,
π
2
)
上不是上凸函數(shù)的是( 。

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