Question

6．已知在大小為105°的二面角α-l-β內(nèi)有一點(diǎn)P，P到α的距離為2$\sqrt{3}$，P到棱l的距離為4，求P到β的距離．

Answer 1

分析 根據(jù)二面角的定義作出二面角的平面角結(jié)合點(diǎn)到平面的距離，利用三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：作AP⊥α，BP⊥β，
則AP⊥l，BP⊥l
則l⊥平面PAB，設(shè)l∩平面PAB=C，
∵二面角α-l-β的平面角是105°，

∴∠ACB=180°-105°=75°，
∵P到α的距離為2$\sqrt{3}$，P到棱l的距離為4，
∴PA=2$\sqrt{3}$，PC=4，
則sin∠PCA=$\frac{AP}{CP}$=$\frac{2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，即∠PCA=60°，
則∠PCB=75°-60°=15°，
在△PBC中，sin∠PCB=$\frac{PB}{PC}$，
則PB=PCsin15°=4×$\frac{\sqrt{2}}{2}$×（$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{6}-\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查點(diǎn)到平面的距離的求解以及空間二面角的應(yīng)用，根據(jù)定義作出二面角的平面角以及利用三角形的邊角關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．