Question

3．已知函數(shù)f（x）=|2x-1|+|2x+3|，g（x）=f（x）-|2x+3|-|x+1|．
（Ⅰ）若對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，關(guān)于x的不等式f（x）≥a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若存在x＜-1，使g（x）≤g（m）成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)絕對(duì)值的意義求出f（x）的最小值，從而求出a的范圍即可；（Ⅱ）求出g（x）的最小值，問題轉(zhuǎn)化為解不等式|2m-1|-|m+1|≥3即可．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=|2x-1|+|2x+3|≥|2x-1-2x-3|=4，
若對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，關(guān)于x的不等式f（x）≥a恒成立，
∴a≤4；
（Ⅱ）g（x）=f（x）-|2x+3|-|x+1|=|2x-1|-|x+1|，
x＜-1時(shí)：g（x）=-（2x-1）+（x+1）=-x+2，
在x∈（-∞，-1）上，g（x）＞3，
故若存在x＜-1，使g（x）≤g（m）成立，
只需g（m）≥3即可，
轉(zhuǎn)化為解不等式|2m-1|-|m+1|≥3，
不等式可化為：$\left\{\begin{array}{l}{m≤-1}\\{-m+2≥3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-1＜m＜\frac{1}{2}}\\{-3m≥3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m≥\frac{1}{2}}\\{m-2≥3}\end{array}\right.$，
解得：m≤-1或m≥5．

點(diǎn)評(píng) 本題考察了函數(shù)恒成立問題，考察解絕對(duì)值不等式問題，考察分類討論思想，是一道中檔題．