Question

14．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{x+2}{x-1}$，直線y=a（a∈R）與y=f（x）的圖象無公共點，則滿足不等式f（|t|+$\frac{3}{2}$）＜2a+f（4a）的實數(shù)t的取值范圍是（-∞，$-\frac{1}{2}$）∪（$\frac{1}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=$\frac{x+2}{x-1}$=1+$\frac{3}{x-1}$≠1，在（-∞，1）和（1，+∞）上均為減函數(shù)，進而可將不等式f（|t|+$\frac{3}{2}$）＜2a+f（4a）化為：|t|+$\frac{3}{2}$＜1，或|t|+$\frac{3}{2}$＞2，解得答案．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\frac{x+2}{x-1}$=1+$\frac{3}{x-1}$≠1，
在（-∞，1）和（1，+∞）上均為減函數(shù)，
若直線y=a（a∈R）與y=f（x）的圖象無公共點，則a=1，
則不等式f（|t|+$\frac{3}{2}$）＜2a+f（4a）可化為：f（|t|+$\frac{3}{2}$）＜4=f（2），
即|t|+$\frac{3}{2}$＜1，或|t|+$\frac{3}{2}$＞2，
解得：t∈（-∞，$-\frac{1}{2}$）∪（$\frac{1}{2}$，+∞），
故答案為：（-∞，$-\frac{1}{2}$）∪（$\frac{1}{2}$，+∞）

點評 本題考查的知識點是函數(shù)的值域和單調(diào)性，絕對值不等式的解法，難度中檔．