【題目】如圖，點(diǎn)在拋物線外，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩切線，設(shè)兩切點(diǎn)分別為，，記線段的中點(diǎn)為.

（Ⅰ）求切線，的方程；

（Ⅱ）證明：線段的中點(diǎn)在拋物線上；

（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)為圓上的點(diǎn)，當(dāng)取最大值時(shí)，求點(diǎn)的縱坐標(biāo).

【答案】（Ⅰ）切線的方程為,切線的方程為.

（Ⅱ）見證明；（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線，的方程；（Ⅱ）由（1）可得，，故，.再結(jié)合M點(diǎn)的坐標(biāo)即可明確在拋物線上；（Ⅲ）由題意可得. 設(shè)，則.結(jié)合均值不等式即可得到結(jié)果.

（Ⅰ）切線的方程為，即，

同理可得，切線的方程為.

（另解：設(shè)切線的方程為：

由消去后可得：

∴

∴切線的方程為，即，

同理可得，切線的方程為.

（Ⅱ）因?yàn)辄c(diǎn)既在切線上，也在切線上，

由（1）可得，，故，.

又點(diǎn)的坐標(biāo)為.

所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，

即點(diǎn)的坐標(biāo)為.故在拋物線上.

（Ⅲ）由（Ⅰ）知： ，

，所以 .

設(shè)，則.

當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，取最大值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某蛋糕店制作并銷售一款蛋糕，當(dāng)天每售出個(gè)獲得利潤(rùn)元，未售出的每個(gè)虧損元.根據(jù)以往天的資料統(tǒng)計(jì)，得到如下需求量表.元日這天，此蛋糕店制作了這款蛋糕個(gè).以（單位：個(gè)， ）表示這天的市場(chǎng)需求量. （單位：元）表示這天出售這款蛋糕獲得的利潤(rùn).

需求量/個(gè)

天數(shù)

15

25

30

20

10

（1）當(dāng)時(shí)，若時(shí)獲得的利潤(rùn)為， 時(shí)獲得的利潤(rùn)為，試比較和的大��；

（2）當(dāng)時(shí)，根據(jù)上表，從利潤(rùn)不少于元的天數(shù)中，按需求量分層抽樣抽取天，

（ⅰ）求這天中利潤(rùn)為元的天數(shù)；

（ⅱ）再?gòu)倪@天中抽取天做進(jìn)一步分析，設(shè)這天中利潤(rùn)為元的天數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某地區(qū)對(duì)一種新品種小麥在一塊試驗(yàn)田進(jìn)行試種.從試驗(yàn)田中抽取株小麥，測(cè)量這些小麥的生長(zhǎng)指標(biāo)值，由測(cè)量結(jié)果得如下頻數(shù)分布表：

生長(zhǎng)指標(biāo)值分組

頻數(shù)

（1）在相應(yīng)位置上作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖；

（2）求這株小麥生長(zhǎng)指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；

（3）由直方圖可以認(rèn)為，這種小麥的生長(zhǎng)指標(biāo)值服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)， 近似為樣本方差.

①利用該正態(tài)分布，求；

②若從試驗(yàn)田中抽取株小麥，記表示這株小麥中生長(zhǎng)指標(biāo)值位于區(qū)間的小麥株數(shù)，利用①的結(jié)果，求.

附： .

若，則，

.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐P－ABCD的底面為直角梯形，AD∥BC，AD＝2BC＝2，BC⊥DC，∠BAD＝60°，平面PAD⊥底面ABCD，E為AD的中點(diǎn)，△PAD為正三角形，M是棱PC上的一點(diǎn)(異于端點(diǎn))．

(1)若M為PC的中點(diǎn)，求證：PA∥平面BME；

(2)是否存在點(diǎn)M，使二面角MBED的大小為30°.若存在，求出點(diǎn)M的位置；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

(1)若f (x)在區(qū)間(－∞，2)上為單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)若a＝0，x0<1，設(shè)直線y＝g(x)為函數(shù)f (x)的圖象在x＝x0處的切線，求證:f (x)≤g(x).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f (x)＝ln x＋x2－ax(a為常數(shù)).

(1)若x＝1是函數(shù)f (x)的一個(gè)極值點(diǎn)，求a的值；

(2)當(dāng)0＜a≤2時(shí)，試判斷f (x)的單調(diào)性；

(3)若對(duì)任意的a∈(1，2)，x0∈[1，2]，不等式f (x0)＞mln a 恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】2019年某開發(fā)區(qū)一家汽車生產(chǎn)企業(yè)計(jì)劃引進(jìn)一批新能源汽車制造設(shè)備，通過(guò)市場(chǎng)分析，全年需投入固定成本3000萬(wàn)元，每生產(chǎn)x（百輛），需另投入成本萬(wàn)元，且，由市場(chǎng)調(diào)研知，每輛車售價(jià)6萬(wàn)元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的車輛當(dāng)年能全部銷售完.

（1）求出2019年的利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量x（百輛）的函數(shù)關(guān)系式；（利潤(rùn)=銷售額成本）

（2）2019年產(chǎn)量為多少（百輛）時(shí)，企業(yè)所獲利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），將曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)都縮短為原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)坐標(biāo)都伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍，得到曲線，在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系取相同的單位長(zhǎng)度，且以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸非負(fù)半軸為極軸）中，直線的極坐標(biāo)方程為．

（1）求直線和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線的距離的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）討論函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性；

（Ⅱ）若存在正數(shù)，對(duì)于任意的，不等式恒成立，求正實(shí)數(shù)的取值范圍.

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