Question

14．已知點(diǎn)M（x，y）是平面直角坐標(biāo)系上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M到直線x=-4的距離等于點(diǎn)M到點(diǎn)D（-1，0）的距離的2倍，記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）斜率為$\frac{1}{2}$的直線l與曲線C交于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)，若直線l不過(guò)點(diǎn)$P（1，\frac{3}{2}）$，設(shè)直線PA、PB的斜率分別為k_PA、k_PB，求k_PA+k_PB的數(shù)值；　
（3）試問：是否存在一個(gè)定圓N，與以動(dòng)點(diǎn)M為圓心，以MD為半徑的圓相內(nèi)切？若存在，求出這個(gè)定圓的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)M（x，y），由題意可得：$|{x+4}|=2\sqrt{{{（x+1）}^2}+{y^2}}$，化簡(jiǎn)即可得出．
（2）方法是設(shè)直線l方程為$y=\frac{1}{2}x+m$（注意m≠1，知道為什么嗎？），與曲線方程聯(lián)立方程組，再利用根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計(jì)算公式即可得出．
（3）利用兩圓相切的性質(zhì)、橢圓的定義即可得出．

解答 解：（1）設(shè)M（x，y），由題意可得：
$|{x+4}|=2\sqrt{{{（x+1）}^2}+{y^2}}$，化簡(jiǎn)即得：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
方法是設(shè)直線l方程為$y=\frac{1}{2}x+m$（注意m≠1，知道為什么嗎？），與曲線方程聯(lián)立方程組，并消去y得．
（2）∵直線l的斜率為$\frac{1}{2}$，且不過(guò)$P（1，\frac{3}{2}）$點(diǎn)，
∴可設(shè)直線$l：y=\frac{1}{2}x+m$（且m≠1）．
聯(lián)立方程組$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1}\\{y=\frac{1}{2}x+m}\end{array}}\right.$，得x²+mx+m²-3=0．
又交點(diǎn)為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
∴$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}+{x_2}=-m}\\{{x_1}{x_2}={m^2}-3}\\{△＞0⇒-2＜m＜2}\end{array}}\right.$．
∴${k_{PA}}+{k_{PB}}=\frac{{{y_1}-\frac{3}{2}}}{{{x_1}-1}}+\frac{{{y_2}-\frac{3}{2}}}{{{x_2}-1}}=\frac{{{x_1}{x_2}+（m-2）（{x_1}+{x_2}）-2m+3}}{{{x_1}{x_2}-（{x_1}+{x_2}）+1}}=0$．
（3）答：一定存在滿足題意的定圓N，
理由：∵動(dòng)圓M與定圓N相內(nèi)切，∴兩圓的圓心之間距離|MN|與其中一個(gè)圓的半徑之和或差必為定值．
又D（1，0）恰好的是曲線（橢圓）C的右焦點(diǎn)，且M是曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，記曲線C的右焦點(diǎn)為F（1，0），
根據(jù)橢圓軌跡定義，|MF|+|MD|=4．
∴若定圓的圓心N與點(diǎn)F重合，定圓的半徑為4時(shí)，則定圓N滿足題意．
∴定圓N的方程為（x-1）²+y²=16．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓與圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、斜率計(jì)算公式，考查了數(shù)形結(jié)合方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．