Question

已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)A（1，），且離心率e=．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知e==，即c²=a²，b²=a²-c²=a²，
∴
∵橢圓C：+=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)A（1，），
∴
∴a²=2，∴b²=1，
∴橢圓C的方程為+y²=1．
（Ⅱ）因?yàn)橹本�l經(jīng)過橢圓內(nèi)的點(diǎn)B（-1，0），所以直線l與橢圓恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)M，N．
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，其方程是：x=-1，代入+y²=1得y=±，可知M（-1，），N（-1，）
∴以MN為直徑的圓不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)方程是y=k（x+1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
由，可得（1+4k²）x²+8k²x+4k²-4=0
∴x₁+x₂=，x₁•x₂=，
因?yàn)橐訫N為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，所以•=0．
可得x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+k（x₁+1）•k（x₂+1）=（1+k²）x₁x₂+k²（x₁+x₂）+k²=0．
∴（1+k²）×+k²×+k²=0．
∴k=±2
綜上所述，過點(diǎn)B（-1，0）能作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，
方程為y=2x+2或y=-2x-2．
分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓C：+=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)A（1，），且離心率e=，結(jié)合b²=a²-c²，即可求得橢圓C的方程；
（Ⅱ）因?yàn)橹本�l經(jīng)過橢圓內(nèi)的點(diǎn)B（-1，0），所以直線l與橢圓恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)M，N．當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，其方程是：x=-1，以MN為直徑的圓不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)方程是y=k（x+1），將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，所以•=0，即可求得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是利用以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O時(shí)，•=0．