Question

證明：
（1）當(dāng)x∈R時，1+2x⁴≥2x³+x²
（2）當(dāng)a，b∈R⁺時，a^ab^b≥（ab） 

a+b

2

．

Answer 1

考點：二維形式的柯西不等式

專題：證明題,不等式的解法及應(yīng)用,推理和證明

分析：（1）將所證的不等式作差后化積，通過判斷符號即可證得結(jié)論成立．
（2）利用相除法，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

解答： 證明：（1）∵x為實數(shù)，
∴1+2x⁴-x²-2x³=2x³（x-1）-（x-1）（x+1）
=（x-1）（2x³-x-1）
=（x-1）[（x-1）（2x²+2x+1）]
=（x-1）²[2（x+0.5）²+0.5]≥0，
∴1+2x⁴≥x²+2x³．
（2）設(shè)y=a^ab^b÷（ab） 

a+b

2

=(

a

b

)

a-b

2

，
當(dāng)a＞b時，

a

b

＞1，

a-b

2

＞0，據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知y＞1，即a^ab^b≥（ab） 

a+b

2

．
當(dāng)a＜b時，0＜

a

b

＜1，

a-b

2

＜0，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知y＞1，即a^ab^b≥（ab） 

a+b

2

．
綜上所述，a^ab^b≥（ab） 

a+b

2

．

點評：本題考查不等式的證明，著重考查作差（商）法的應(yīng)用，作差后化積是關(guān)鍵，考查運算能力，屬于中檔題．