Question

已知數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足：b_n=a_n+1-a_n（n∈N^*）．
（1）若a₁=1，b_n=n，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n+1b_n-1=b_n（n≥2），且b₁=1，b₂=2，記c_n=a_6n-1（n≥1）求證：數(shù)列{c_n}為等差數(shù)列．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）利用疊加可得，a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=a₁+b₁+b₂+…+b_n-1，可求a_n，
（2）由b_n+1b_n-1=b_n（n≥2），證明數(shù)列{b_n}是周期為6的周期數(shù)列，且數(shù)列{b_n}一個(gè)周期內(nèi)的和為7．利用等差數(shù)列的定義即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵b_n=a_n+1-a_n（n∈N^*）．
∴當(dāng)n≥2時(shí)，有a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=a₁+b₁+b₂+…+b_n-1
=1+1+2+3+…+（n-1）=1+

(n-1)(1+n-1)

2

=

n2-n+2

2

，
又a₁=1也滿足上式，故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)為a_n=

n2-n+2

2

．
（2）∵b_n+1b_n-1=b_n（n≥2），
∴對任意的n∈N^*有bn+6=

bn+5

bn+4

=

1

bn+3

=

bn+1

bn+2

=b_n，
即數(shù)列{b_n}各項(xiàng)的值重復(fù)出現(xiàn)，周期為6．
又?jǐn)?shù)列{b_n}的前6項(xiàng)分別為1，2，2，1，

1

2

，

1

2

，且這六個(gè)數(shù)的和為7．
∵c_n=a_6n-1（n≥1），
∴c_n+1-c_n=a_6n+5-a_6n-1=a₁+b₁+b₂+…+b_6n+5-（a₁+b₁+b₂+…+b_6n-1）=b_6n+b_6n+1+b_6n+2+b_6n+3+b_6n+4+b_6n+5=7（n≥1）
故數(shù)列{a_6n-1}為以7為公差的等差數(shù)列．

點(diǎn)評：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)列的周期性的綜合應(yīng)用，判斷數(shù)列是周期數(shù)列是解決本題的關(guān)鍵．試題的綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．