Question

已知雙曲線左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，在雙曲線C上存在點(diǎn)P，滿足△PF₁F₂的周長(zhǎng)等于雙曲線C實(shí)軸的3倍，則雙曲線C的離心率取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），P為右支上一點(diǎn)，且PF₂=t，則由雙曲線的定義可得，PF₁，由題意可得2a+2c+2t=6a，由t的范圍和離心率公式計(jì)算即可得到所求范圍．

解答： 解：設(shè)雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），P為右支上一點(diǎn)，
且PF₂=t，則由雙曲線的定義可得，PF₁=2a+t，
由題意可得，PF₁+PF₂+F₁F₂=3×2a，
即為2a+2c+2t=6a，
由于t＞c-a，
則有2a-c＞c-a，
即2c＜3a，
由于e=

c

a

，e＞1，
則1＜e＜

3

2

．
故答案為：（1，

3

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查離心率的求法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．