設(shè)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右頂點(diǎn)分別為A（-
2
，0）、B（
2
，0），離心率e=
2
2
．過(guò)該橢圓上任一點(diǎn)P作PQ⊥x軸，垂足為Q，點(diǎn)C在QP的延長(zhǎng)線上，且|PC|=（
2
-1）|PQ|．
（1）求橢圓的方程；
（2）求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡E的方程；
（3）設(shè)直線MN過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)與橢圓相交于M、N兩點(diǎn)，且|MN|=
8
2
7
，求直線MN的方程．
（1）由題意可得，a=
2
，
∵e=
2
2
，∴c=1，（2分）
∴b2=a2-c2=1，（3分）
所以橢圓的方程為
x2
2
+y2=1．（4分）
（2）設(shè)C（x，y），P（x0，y0），由題意得
x=x0
y=
2
y0
，即
x0=x
y0=
y
2
，（6分）
代入橢圓得
x2
2
+
y2
2
=1，即x2+y2=2．
即動(dòng)點(diǎn)的軌跡E的方程為x2+y2=2．（8分）
（3）若直線MN的斜率不存在，則方程為x=1，所以|MN|=
2
≠
8
2
7
．（9分）
所以直線MN的斜率存在，設(shè)為k，直線MN的方程為y=k（x-1），
由
x2
2
+y2=1
y=k(x-1)
，得(
1
2
+k2)x2-2k2x+k2-1=0．（10分）
因?yàn)椤?2（k2+1）＞0，所以x1，2=
4k2±
2k2+2
2(2k2+1)
．
設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則x1+x2=
4k2
1+2k2
，x1x2=
2k2-2
1+2k2
（11分）
所以|MN|=
1+k2
×
(x1+x2)2-4x1x2
=
8
2
7
，
即
1+k2
×
16k4
(1+2k2)2
-
8k2-8
1+2k2
=
8
2
7
，（12分）
解得k=±
3
．（13分）
故直線MN的方程為y=
3
（x-1）或y=-
3
（x-1）（14分）
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，|
F1F2
|=2，離心率e=
1
2
，過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F2的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線l的傾斜角為
π
4
，求線段MN中點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

以橢圓
x2
16
+
y2
4
=1內(nèi)的點(diǎn)M（1，1）為中點(diǎn)的弦所在直線方程為_(kāi)_____．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

設(shè)雙曲線方程
x2
a2
-
y2
b2
=1(b＞a＞0)的半焦距為c，直線l過(guò)（a，0），（0，b）兩點(diǎn)，已知原點(diǎn)到直線l的距離為
3
4
c．
（1）求雙曲線的離心率；
（2）經(jīng)過(guò)該雙曲線的右焦點(diǎn)且斜率為2的直線m被雙曲線截得的弦長(zhǎng)為15，求雙曲線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知直線l：y=3x+2過(guò)拋物線y=ax2（a＞0）的焦點(diǎn)．
（1）求拋物線方程；
（2）設(shè)拋物線的一條切線l1，若l1∥l，求切點(diǎn)坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知A（-3，0），B（3，0）．若△ABC周長(zhǎng)為16．
（1）求點(diǎn)C軌跡L的方程；
（2）過(guò)O作直線OM、ON，分別交軌跡L于M、N點(diǎn)，且OM⊥ON，求S△MON的最小值；
（3）在（2）的前提下過(guò)O作OP⊥MN交于P點(diǎn)．求證點(diǎn)P在定圓上，并求該圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)與拋物線C2：x2=2py（p＞0）的一個(gè)交點(diǎn)為M．拋物線C2在點(diǎn)M處的切線過(guò)橢圓C1的右焦點(diǎn)F．
（1）若M(2，
2
5
5
)，求C1和C2的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）若b=1，求p關(guān)于a的函數(shù)表達(dá)式p=f（a）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知點(diǎn)D（0，-2），過(guò)點(diǎn)D作拋物線C1：x2=2py（p＞0）的切線l，切點(diǎn)A在第二象限，如圖
（Ⅰ）求切點(diǎn)A的縱坐標(biāo)；
（Ⅱ）若離心率為
3
2
的橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)恰好經(jīng)過(guò)切點(diǎn)A，設(shè)切線l交橢圓的另一點(diǎn)為B，記切線l，OA，OB的斜率分別為k，k1，k2，若k1+2k2=4k，求橢圓方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

橢圓C的中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸，它的短軸長(zhǎng)為2，過(guò)焦點(diǎn)與x軸垂直的直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)且|AB|=1．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過(guò)定點(diǎn)N（1，0）的直線l交橢圓C于C、D兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)P，若
PC
=λ1
CN
，
PD
=λ2
DN
，求證：λ1+λ2為定值．

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