Question

如圖，ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱（側(cè)棱與底面垂直的三棱柱叫直三棱柱），M是BB₁的中點，N是AC的中點；
（Ⅰ）求證：BN∥平面AMC₁；
（Ⅱ）若BA=BC，求證：平面AMC₁⊥平面ACC₁A₁．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取AC₁的中點P，連接NP，則NP為△ACC₁的中位線，易證四邊形MBNP為平行四邊形，利用線面平行的判定定理即可證得BN∥平面AMC₁；
（Ⅱ）利用等腰三角形的性質(zhì)易證MP⊥AC₁，BN⊥AC；而BN∥MP，從而MP⊥AC；再利用線面垂直的判定定理即可證得MP⊥平面ACC₁A₁，繼而得證平面AMC₁⊥平面ACC₁A₁．

解答：解：（Ⅰ）取AC₁的中點P，連接NP，則NP為△ACC₁的中位線，
∴NP

∥

.

1

2

CC₁，M是BB₁的中點，連接MP，則MB

∥

.

NP，
∴四邊形MBNP為平行四邊形，
∴BN∥MP，MP?平面AMC₁，BN?，
∴BN∥平面AMC₁；
（Ⅱ）∵BA=BC，N是AC的中點，
∴BN⊥AC，而BN∥MP，
∴MP⊥AC，①
∵BB₁⊥底面ABC，M是BB₁的中點，
∴MA=MC₁，又點P為AC₁的中點，
∴MP⊥AC₁，②
AC∩AC₁=A③
∴MP⊥平面ACC₁A₁，
又MP?平面AMC₁，
∴平面AMC₁⊥平面ACC₁A₁．

點評：本題考查直線與平面平行的判定，考查平面與平面垂直的判定，證得MP⊥平面ACC₁A₁是關(guān)鍵，考查空間想象能力與推理證明能力，屬于中檔題．