Question

5．已知S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n-1}，n≥6}\\{{a}_{n-1}+1，2≤n＜6}\end{array}\right.$，a₁=a（a∈R）給出下列3個(gè)結(jié)論：①數(shù)列{a_n+5}一定是等比數(shù)列；②若S₅＜100，則a＜18；③若a₃，a₆，a₉成等比數(shù)列，則a=-$\frac{4}{3}$．其中，所有正確結(jié)論的序號為（　�。�

• A． ②
• B． ②③
• C． ①③
• D． ①②③

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由數(shù)列的遞推公式表示出數(shù)列的前幾項(xiàng)，據(jù)此分析3個(gè)結(jié)論：對于①、由等比數(shù)列的性質(zhì)可得a=-4時(shí){a_n+5}不是等比數(shù)列，可①錯(cuò)誤；對于②、由等差數(shù)列的性質(zhì)可得②正確，對于③、由等比數(shù)列的性質(zhì)可得（2a+8）²=（a+2）×8×（2a+8），且a₆=2a+8≠0，解可得a的值，解可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，數(shù)列{a_n}滿足a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n-1}，n≥6}\\{{a}_{n-1}+1，2≤n≤6}\end{array}\right.$，且a₁=a，
則a₂=a₁+1=a+1，a₃=a₂+1=a+2，a₄=a₃+1=a+3，a₅=a₄+1=a+4，
a₆=2a₅=2a+8，a₇=2a₆，…；
對于①、當(dāng)a=-4時(shí)，a₆=2a+8=0，此時(shí)數(shù)列{a_n+5}不是等比數(shù)列，故①錯(cuò)誤；
對于②、若S₅＜100，則有S₅=（a₁+a₂+…+a₅）=5（a+2）＜100，則有a＜18；②正確；
對于③、根據(jù)題意，a₃=a+2，a₆=2a+8，a₉=2a₅=8×（2a+8），
若a₃，a₆，a₉成等比數(shù)列，則有（2a+8）²=（a+2）×8×（2a+8），且a₆=2a+8≠0，
解可得a=-$\frac{4}{3}$，③正確；
綜合可得：②③正確；
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的遞推公式，關(guān)鍵是掌握等比數(shù)列、等差數(shù)列的定義、性質(zhì)．