Question

有下列命題：
①若集合{x|ax²-2x-1=0}為單元素集，則實(shí)數(shù)a=-1；
②函數(shù)f（x）=2^x-x²的零點(diǎn)有2個(gè)；
③函數(shù)y=cos（x-

π

4

）cos（x+

π

4

）的圖象中，相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心的距離為π；
④函數(shù)y=

x+3

x-1

的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，1）對(duì)稱；
⑤函數(shù)y=sinx（x∈[-π，π]）圖象與x軸圍成的圖形的面積是S=

∫

π -π

sinxdx；
⑥若ξ-N（1，σ²），且P（0≤ξ≤1）=0.3，則P（ξ≥2）=0.2．
其中所有真命題的序號(hào)是

 

（寫出所有正確命題的編號(hào)）．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡易邏輯

分析：取a=0說明①錯(cuò)誤；由兩函數(shù)y=2^x與y=x²的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3個(gè)說明②錯(cuò)誤；求出函數(shù)y=cos（x-

π

4

）cos（x+

π

4

）的周期說明③錯(cuò)誤；
把函數(shù)y=

x+3

x-1

變形，結(jié)合反比例函數(shù)圖象的對(duì)稱性說明④正確；直接求出函數(shù)y=sinx（x∈[-π，π]）圖象與x軸圍成的圖形的面積說明⑤錯(cuò)誤；
由已知直接求出P（ξ≥2）=0.2說明⑥正確．

解答： 解：對(duì)于①，若a=0，則{x|ax²-2x-1=0}={-

1

2

}，此時(shí)集合為單元素集，命題①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，函數(shù)f（x）=2^x-x²的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為兩函數(shù)y=2^x與y=x²的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，除了一個(gè)負(fù)的零點(diǎn)外，2，4也是函數(shù)的零點(diǎn)，共3個(gè)，命題②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，y=cos（x-

π

4

）cos（x+

π

4

）=

1

2

[cos2x+cos

π

2

]=

1

2

cos2x，
∴T=π，則相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心的距離為

π

2

，命題③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，函數(shù)y=

x+3

x-1

=

x-1+4

x-1

=1+

4

x-1

，∴y=

x+3

x-1

的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，1）對(duì)稱，命題④正確；
對(duì)于⑤，函數(shù)y=sinx（x∈[-π，π]）圖象與x軸圍成的圖形的面積是S=

∫

0 -π

-sinxdx

+∫

π 0

sinxdx≠

∫

π -π

sinxdx，命題⑤錯(cuò)誤；
對(duì)于⑥，若ξ-N（1，σ²），且P（0≤ξ≤1）=0.3，則P（0≤ξ≤2）=0.6，∴P（ξ≥2）=0.2，命題⑥正確．
故答案為：④⑥．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)，訓(xùn)練了正態(tài)分布概率的求法，是中檔題．