Question

已知f（x）=kx²-kx+2
（Ⅰ）若x∈R時，f（x）＞0恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；
（Ⅱ）若k∈R，解關于x的不等式f（x）≤2x．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（I）若f（x）＞0恒成立，則k=0或

k＞0 △=k2-8k＜0

，分別求出k的范圍后，綜合討論結果，可得答案．
（Ⅱ）不等式f（x）≤2x，即kx²-（k+2）x+2≤0，即（kx-2）（x-1）≤0，對k進行分類討論，可得原不等式的解集．

解答： 解：（Ⅰ）x∈R時，f（x）＞0恒成立，即kx²-kx+2＞0恒成立
（1）若k=0，則有2＞0恒成立；
（2）若k≠0，由題意有

k＞0 △=k2-8k＜0

，
解得：k∈（0，8），
綜上 實數(shù)k的取值范圍為[0，8），
（Ⅱ）∵不等式f（x）≤2x，即kx²-（k+2）x+2≤0，
即（kx-2）（x-1）≤0，
（1）若k=0，則不等式可化為-2（x-1）≤0，
解得：x≥1，
（2）若k＞0，則不等式可化為：（x-

2

k

）（x-1）≤0，
若k=2，則

2

k

=1，上不等式解得：x=1；
若k＞2，則

2

k

＜1，上不等式解得

2

k

≤x≤1；
若0＜k＜2，則

2

k

＞1，上不等式解得1≤x≤

2

k

．
（3）若k＜0，則不等式可化為：（x-

2

k

）（x-1）≥0，
解得x≥1，或x≤

2

k

．
綜上所述
當k≥2時，原不等式解集[

2

k

，1]；
當0＜k＜2時，原不等式解集[1，

2

k

]；
當k=0時，原不等式解集[1，+∞）；
當k＜0時，原不等式解集（-∞，

2

k

]∪[1，+∞）

點評：本題考查的知識點是函數(shù)恒成立問題，函數(shù)的最值，其中將恒成立問題轉化為最值問題是解答此類問題的關鍵．