Question

6．已知平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，點(diǎn)A（3$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），曲線C：p²=2pcosθ+1．
（1）寫出點(diǎn)A的直角坐標(biāo)及曲線C的直角坐標(biāo)方程，并指出曲線C的類型；
（2）若點(diǎn)B是曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-3+t}\\{y=t}\end{array}\right.$（t是參數(shù)），求線段AB的中點(diǎn)D到直線l距離的最大值．

Answer 1

分析 （1）由ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出點(diǎn)A的直角坐標(biāo)和曲線C的直角坐標(biāo)方程，并得到曲線C是以（1，0）為圓心，以$\sqrt{2}$為半徑的圓．
（2）設(shè)B（$1+\sqrt{2}cosθ$，$\sqrt{2}sinθ$），從而線段AB的中點(diǎn)D（2+$\frac{\sqrt{2}}{2}cosθ$，$\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}sinθ$），消去參數(shù)t，得直線l的普通方程為x-y+3=0，由此利用點(diǎn)到直線距離公式和三角函數(shù)性質(zhì)能求出線段AB的中點(diǎn)D到直線l距離的最大值．

解答 解：（1）∵平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，點(diǎn)A（3$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），
∴$x=3\sqrt{2}×cos\frac{π}{4}$=3，y=3$\sqrt{2}$×$sin\frac{π}{4}$=3，
∴點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為A（3，3），
∵曲線C：ρ²=2ρcosθ+1，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=2x+1，即（x-1）²+y²=2，
曲線C是以（1，0）為圓心，以$\sqrt{2}$為半徑的圓．
（2）∵點(diǎn)B是曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，∴設(shè)B（$1+\sqrt{2}cosθ$，$\sqrt{2}sinθ$），
∴線段AB的中點(diǎn)D（2+$\frac{\sqrt{2}}{2}cosθ$，$\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}sinθ$），
∵直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-3+t}\\{y=t}\end{array}\right.$（t是參數(shù)），
∴消去參數(shù)t，得直線l的普通方程為x-y+3=0，
∴點(diǎn)D（2+$\frac{\sqrt{2}}{2}cosθ$，$\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}sinθ$）到直線x-y+3=0的距離：
d=$\frac{|2+\frac{\sqrt{2}}{2}cosθ-\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}sinθ+3|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|sin（θ+\frac{3π}{4}）+\frac{7}{2}|}{\sqrt{2}}$，
∴當(dāng)$sin（θ+\frac{3π}{4}）=1$時(shí)，線段AB的中點(diǎn)D到直線l距離的最大值為d_max=$\frac{9\sqrt{2}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)的直角坐標(biāo)及曲線的直角坐標(biāo)方程的求法，考查線段的中點(diǎn)到直線距離的最大值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)到直線距離公式的合理運(yùn)用．