Question

15．設(shè)橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，上頂點(diǎn)為A，過點(diǎn)A與AF₂垂直的直線交z軸負(fù)半軸于點(diǎn)Q，且$2\overrightarrow{{F_1}{F_2}}$+$\overrightarrow{{F_2}Q}$=$\overrightarrow{0}$，若過A，Q，F(xiàn)₂三點(diǎn)的圓的半徑為2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過右焦點(diǎn)F₂作斜率為k的直線l與橢圓C交丁M、N兩點(diǎn)，在x軸上存在點(diǎn)P（m，0）使得以PM，PN為鄰邊的平行四邊形是菱形，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由$2\overrightarrow{{F_1}{F_2}}$+$\overrightarrow{{F_2}Q}$=$\overrightarrow{0}$，可得F₁為F₂Q中點(diǎn)，結(jié)合過點(diǎn)A與AF₂垂直的直線交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)Q，在直角三角形AF₁F₂中利用a，b，c的關(guān)系結(jié)合隱含條件求得a，b，c的值，則橢圓方程可求；
（2）設(shè)出l的方程，代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，由以PM，PN為鄰邊的平行四邊形是菱形，可得（$\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{PN}$）•$\overrightarrow{MN}$=0，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系和向量的坐標(biāo)表示，即可求得m的取值范圍．

解答 解：（1）∵$2\overrightarrow{{F_1}{F_2}}$+$\overrightarrow{{F_2}Q}$=$\overrightarrow{0}$，∴$2\overrightarrow{{F}_{1}Q}+2\overrightarrow{Q{F}_{2}}+\overrightarrow{{F}_{2}Q}=\overrightarrow{0}$，
即$2\overrightarrow{{F}_{1}Q}=\overrightarrow{{F}_{2}Q}$，則F₁為F₂Q中點(diǎn)．
∵AQ⊥AF₂，∴過A，Q，F(xiàn)₂三點(diǎn)的圓的圓心為F₁（-c，0），半徑為2c．
則a=2c，∴△AF₁F₂為等邊三角形，則$b=\sqrt{3}c$，
結(jié)合a²=b²+c²，解得c=1，
∴a=2，b=$\sqrt{3}$，
∴所求橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）由（1）知，F(xiàn)₂（1，0），
設(shè)l的方程為y=kx-k，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-k}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消去y可得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$．
∴$\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{PN}$=（x₁-m，y₁）+（x₂-m，y₂）=（x₁+x₂-2m，y₁+y₂）．
=（x₁+x₂-2m，k（x₁+x₂）-2k）．
又$\overrightarrow{MN}$=（x₂-x₁，y₂-y₁）=（x₂-x₁，k（x₂-x₁））．
由于菱形對(duì)角線互相垂直，則（$\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{PN}$）•$\overrightarrow{MN}$=0，
（x₂-x₁）[（x₁+x₂）-2m]+k（x₂-x₁）[k（x₁+x₂）-2k]=0．
故（x₂-x₁）[（x₁+x₂）-2m+k²（x₁+x₂）-2k²]=0．
∵x₂-x₁≠0．
∴（x₁+x₂）-2m+k²（x₁+x₂）-2k²=0，即（1+k²）（x₁+x₂）-2k²-2m=0．
∴（1+k²）$•\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$-2k²-2m=0．
解得：m=$\frac{{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{1}{4+\frac{3}{{k}^{2}}}$，
∴$\frac{3}{{k}^{2}}＞0$，∴$4+\frac{3}{{k}^{2}}＞4$，
則$0＜\frac{1}{4+\frac{3}{{k}^{2}}}＜\frac{1}{4}$．
即m∈（0，$\frac{1}{4}$）．
故存在滿足題意的點(diǎn)P且m的取值范圍是（0，$\frac{1}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查基本不等式的運(yùn)用，解題時(shí)應(yīng)充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化，屬于中檔題．