Question

已知拋物線，為拋物線的焦點(diǎn)， 為拋物線上的動點(diǎn)，過作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為．

（1）若點(diǎn)與點(diǎn)的連線恰好過點(diǎn)，且，求拋物線方程；

（2）設(shè)點(diǎn)在軸上，若要使總為銳角，求的取值范圍．

 

Answer 1

(1)；(2)且．

【解析】

試題分析：（1）先由題意知：|AQ|=|AF，再依據(jù)A為PF的中點(diǎn)且點(diǎn)A在拋物線上，求得p值，從而得出拋物線方程；

（2）設(shè)A（x，y），y2=2px，根據(jù)題意：∠MAF為銳角根據(jù)向量的數(shù)量積得出：對x≥0都成立，令對x≥0都成立，下面結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分類討論，即可求得m的取值范圍即可．

試題解析：（1）由題意知：，，為的中點(diǎn)，

，且點(diǎn)在拋物線上，代入得

所以拋物線方程為． 4分

（2）設(shè)，，

根據(jù)題意：為銳角且

，

， 所以得對都成立

令

對都成立 9分

（1）若，即時，只要使成立，

整理得：，且，

所以．

（2）若，即，只要使成立，得

所以 13分

由（1）（2）得的取值范圍是且． 10分

考點(diǎn)：1．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單性質(zhì)；2．向量的數(shù)量積；3．計算能力．