Question

（本小題滿(mǎn)分13分）已知函數(shù)（為常數(shù)，）

（1）若是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，求的值；

（2）求證：當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)；

（3）若對(duì)任意的，總存在，使不等式成立，求正實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1）2；（2）見(jiàn)解析；（3）.

【解析】

試題分析：（1）利用函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為0即可求出的值；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系跑到導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上恒大于0即可（3）若可導(dǎo)函數(shù)在指定的區(qū)間上單調(diào)遞增（減），求參數(shù)問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為恒成立，從而構(gòu)建不等式，要注意“=”是否可以取到.

試題解析： 1分

（1）由已知，得且， 2分

3分

（2）當(dāng)時(shí)，

4分

當(dāng)時(shí)，又 5分

故在上是增函數(shù)

（3）時(shí)，由（2）知，在上的最大值為

于是問(wèn)題等價(jià)于：對(duì)任意的，不等式恒成立. 7分

記

則. 8分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015032506041880135201/SYS201503250604262234446597_DA/SYS201503250604262234446597_DA.032.png"> 9分

若，可知在區(qū)間上遞減，在此區(qū)間上，有

，與恒成立相矛盾，故，這時(shí)， 12分

在上遞增，恒有，滿(mǎn)足題設(shè)要求，

即實(shí)數(shù)的取值范圍為 14分

考點(diǎn)：函數(shù)的性質(zhì)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.