Question

18．設(shè)a＞0，函數(shù)f（x）=x+$\frac{{a}^{2}}{x}$，g（x）=x-lnx，若對(duì)任意x₁∈（0，+∞），任意x₂∈[1，e]，都有f（x₁）≥g（x₂）成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≥$\sqrt{e-2}$．

Answer 1

分析 先對(duì)函數(shù)g（x）求導(dǎo)判斷出函數(shù)g（x）的單調(diào)性并求其最大值，然后對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)判斷單調(diào)性求其最小值，最后令函數(shù)f（x）的最小值大于等于函數(shù)g（x）的最大值即可．

解答 解：∵g（x）=x-lnx，∴g'（x）=1-$\frac{1}{x}$，x∈[1，e]，
g'（x）≥0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，
g（x）的最大值為g（e）=e-1
∵f（x）=x+$\frac{{a}^{2}}{x}$，
∴f'（x）=$\frac{{x}^{2}-{a}^{2}}{{x}^{2}}$，令f'（x）=0，∵a＞0，∴x=a
當(dāng)0＜a＜1，f（x）在[1，e]上單調(diào)增，f（1）_最小=1+a²≥e-1，∴1＞a≥$\sqrt{e-2}$
當(dāng)1≤a≤e 列表可知 f（a）_最小=2a≥e-1 恒成立
當(dāng)a＞e時(shí) f（x）在[1，e]上單調(diào)減 f（e）_最小=$\frac{{e}^{2}+{a}^{2}}{e}$≥e-1 恒成立
綜上a≥$\sqrt{e-2}$
故答案為：a≥$\sqrt{e-2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減．