【題目】如圖,在梯形ABCD中,AD//BC,∠ABC=,,∠ADC=,PA⊥平面ABCD且PA=.
(1)求直線AD到平面PBC的距離;
(2)求出點A到直線PC的距離;
(3)在線段AD上是否存在一點F,使點A到平面PCF的距離為.
【答案】(1)(2)(3)存在,證明見解析.
【解析】
(1)直線AD到平面PBC的距離可轉(zhuǎn)化為點A到平面PBC的距離,作于,可證明AH的長為點A到平面PBC的距離,求解即可(2)作于,則AE的長即為點A到PC的距離,利用三角形面積的等積法即可求解(3)假設(shè)存在點F,由(2)知只需平面,轉(zhuǎn)化為是否存在即可求解.
(1) 作于,
由面ABCD,
,
,又,
平面PAB,
,又,
面PBC,
即AH的長為點A到平面PBC的距離,也即直線AD到平面PBC的距離,
在等腰中,,
所以直線AD到平面PBC的距離為.
(2)作于,則AE的長即為點A到PC的距離.
在中, ,
,
即點A到直線PC的距離為.
(3)假設(shè)在線段AD上是存在一點F,使點A到平面PCF的距離為,
設(shè)
過C作于M,在中,,
可得,,
所以,
由(2)知,若存在F,使得平面即可,
由條件可知,只需,則平面
設(shè),則,
在中,由余弦定理可得,
若,在中,
,
即,
解得,
即在AD上存在一點F,當時,
,
又,,
平面,
,又,,
平面,即點A到平面PCF的距離為,
此時滿足條件.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】今有9所省級示范學(xué)校參加聯(lián)考,參加人數(shù)約5000人,考完后經(jīng)計算得數(shù)學(xué)平均分為113分.已知本次聯(lián)考的成績服從正態(tài)分布,且標準差為12.
(1)計算聯(lián)考成績在137分以上的人數(shù).
(2)從所有試卷中任意抽取1份,已知分數(shù)不超過123分的概率為0.8.
①求分數(shù)低于103分的概率.
②從所有試卷中任意抽取5份,由于試卷數(shù)量較大,可以把每份試卷被抽到的概率視為相同,表示抽到成績低于103分的試卷的份數(shù),寫出的分布列,并求出數(shù)學(xué)期望.
參考數(shù)據(jù):
,,
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,四邊形ABCD是直角梯形,且AD∥BC,AD⊥CD,∠ABC=60°,BC=2AD=2,PC=3,△PAB是正三角形.
(1)求證:AB⊥PC;
(2)求二面角P﹣CD﹣B的平面角的正切值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)圓的圓心在軸的正半軸上,與軸相交于點,且直線被圓截得的弦長為.
(1)求圓的標準方程;
(2)設(shè)直線與圓交于兩點,那么以為直徑的圓能否經(jīng)過原點,若能,請求出直線的方程;若不能,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線平面,直線平行四邊形,四棱錐的頂點在平面上,,,,,分別是與的中點.
(1)求證:平面;
(2)求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知△ABC中,B(-1,0),C(1,0),AB=6,點P在AB上,且∠BAC=∠PCA.
(1)求點P的軌跡E的方程;
(2)若,過點C的直線與E交于M,N兩點,與直線x=9交于點K,記QM,QN,QK的斜率分別為k1,k2,k3,試探究k1,k2,k3的關(guān)系,并證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知圓,點是圓內(nèi)一個定點,是圓上任意-一點,線段的垂直平分線和半徑相交于點,連接,記動點的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)若、是曲線上關(guān)于原點對稱的兩個點,點是曲線.上任意-一點(不同于點、),當直線、的斜率都存在時,記它們的斜率分別為、,求證:的為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線C頂點在坐標原點,焦點F在Y軸的非負半軸上,點是拋物線上的一點.
(1)求拋物線C的標準方程
(2)若點P,Q在拋物線C上,且拋物線C在點P,Q處的切線交于點S,記直線 MP,MQ的斜率分別為k1,k2,且滿足,當P,Q在C上運動時,△PQS的面積是否為定值?若是,求出△PQS的面積;若不是,請說明理由.
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