Question

【題目】如圖,在梯形ABCD中,AD//BC,∠ABC=，,∠ADC=，PA⊥平面ABCD且PA=.

(1)求直線AD到平面PBC的距離；

(2)求出點A到直線PC的距離；

(3)在線段AD上是否存在一點F,使點A到平面PCF的距離為.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）存在，證明見解析.

【解析】

（1）直線AD到平面PBC的距離可轉(zhuǎn)化為點A到平面PBC的距離，作于，可證明AH的長為點A到平面PBC的距離，求解即可（2）作于,則AE的長即為點A到PC的距離，利用三角形面積的等積法即可求解（3）假設(shè)存在點F，由（2）知只需平面，轉(zhuǎn)化為是否存在即可求解.

（1） 作于，

由面ABCD，

，

，又，

平面PAB,

，又，

面PBC,

即AH的長為點A到平面PBC的距離，也即直線AD到平面PBC的距離，

在等腰中，，

所以直線AD到平面PBC的距離為.

（2）作于,則AE的長即為點A到PC的距離.

在中， ，

,

即點A到直線PC的距離為.

（3）假設(shè)在線段AD上是存在一點F，使點A到平面PCF的距離為，

設(shè)

過C作于M，在中，,

可得,，

所以，

由（2）知，若存在F,使得平面即可,

由條件可知，只需,則平面

設(shè)，則，

在中，由余弦定理可得，

若，在中，

,

即，

解得，

即在AD上存在一點F，當時，

，

又,,

平面，

，又，,

平面,即點A到平面PCF的距離為，

此時滿足條件.