Question

【題目】設(shè)圓的圓心在軸的正半軸上，與軸相交于點(diǎn)，且直線被圓截得的弦長(zhǎng)為.

（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線與圓交于兩點(diǎn)，那么以為直徑的圓能否經(jīng)過原點(diǎn)，若能，請(qǐng)求出直線的方程；若不能，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）能，或.

【解析】

（1）設(shè)圓心，，半徑為，由垂徑定理列關(guān)于與的方程，結(jié)合點(diǎn)在圓上聯(lián)立求得與的值，則圓的方程可求；

（2）設(shè)，，，是直線與圓的交點(diǎn)，聯(lián)立直線方程與圓的方程，化為關(guān)于的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得的中點(diǎn)的坐標(biāo)，假如以為直徑的圓過原點(diǎn)，則，由此列式求解值，則直線的方程可求．

（1）設(shè)圓心，半徑為，由垂徑定理得

且

解得，

∴圓的方程為 ；

（2）設(shè)是直線與圓的交點(diǎn)，

將代入圓的方程得：

∴，

∴的中點(diǎn)為.

以為直徑的圓能過原點(diǎn)，則，

∵圓心到直線的距離為，

∴.

∴，解得 ，

經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)，直線與圓均相交，

∴的方程為或.