【題目】已知函數(shù).
(1)當時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(2)若不等式恒成立,求的值.
【答案】(1)見解析;(2)1.
【解析】
(1)a=1時,f(x)=,f′(x)=,令f′(x)==0,解得x=e.通過列表可得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞區(qū)間及其極值.(2)由題意可得:x>0,由不等式恒成立,即x﹣1﹣alnx≥0恒成立.令g(x)=x﹣1﹣alnx≥0,g(1)=0,x∈(0,+∞).g′(x)=1﹣=.對a分類討論,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出.
(1)a=1時,f(x)=,f′(x)=,
令f′(x)==0,解得x=e.
x | (0,e) | e | (e,+∞) |
f′(x) | + | 0 | ﹣ |
f(x) | 單調(diào)遞增 | 極大值 | 單調(diào)遞減 |
可得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,e),單調(diào)遞減區(qū)間為(e,+∞),可得極大值為f(e)=,為極小值.
(2)由題意可得:x>0,由不等式恒成立,即x﹣1﹣alnx≥0恒成立.
令g(x)=x﹣1﹣alnx≥0,g(1)=0,x∈(0,+∞).
g′(x)=1﹣=.
①若a<0,則函數(shù)g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,又g(1)=0,∴x∈(0,1)時,g(x)<0,不符合題意,舍去.
②若0<a<1,則函數(shù)g(x)在(a,+∞)上g′(x)>0,即函數(shù)g(x)單調(diào)遞增,又g(1)=0,∴x∈(a,1)時,g(x)<0,不符合題意,舍去.
③若a=1,則函數(shù)g(x)在(1,+∞)上g′(x)>0,即函數(shù)g(x)單調(diào)遞增,x∈(a,1)時,g′(x)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減.
∴x=1時,函數(shù)g(x)取得極小值即最小值,又g(1)=0,∴x>0時,g(x)≥0恒成立.
③若1<a,則函數(shù)g(x)在(0,a)上g′(x)<0,即函數(shù)g(x)單調(diào)遞減,又g(1)=0,∴x∈(1,a)時,g(x)<0,不符合題意,舍去.
綜上可得:a=1.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某中學要從高一年級甲、乙兩個班級中選擇一個班參加市電視臺組織的“環(huán)保知識競賽”.該校對甲、乙兩班的參賽選手(每班7人)進行了一次環(huán)境知識測試,他們?nèi)〉玫某煽儯M分100分)的莖葉圖如圖所示,其中甲班學生的平均分是85分,乙班學生成績的中位數(shù)是85.
(1)求的值;
(2)根據(jù)莖葉圖,求甲、乙兩班同學成績的方差的大小,并從統(tǒng)計學角度分析,該校應(yīng)選擇甲班還是乙班參賽.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,動圓經(jīng)過點并且與直線相切,設(shè)動圓圓心的軌跡為曲線.
(1)如果直線過點(0,4),且和曲線只有一個公共點,求直線的方程;
(2)已知不經(jīng)過原點的直線與曲線相交于、兩點,判斷命題“如果,那么直線經(jīng)過點”是真命題還是假命題,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】若數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列,數(shù)列滿足b1=1,b2=2,且anbn+bn=nbn+1.
(1)求數(shù)列,的通項公式;
(2)設(shè)數(shù)列滿足,數(shù)列的前n項和為,若不等式
對一切n∈N*恒成立,求實數(shù)λ的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知某射擊運動員每次擊中目標的概率都是0.7.現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計該運動員射擊4次,至少擊中2次的概率:先由計算器算出0~9之間取整數(shù)值的隨機數(shù),指定0,1,2表示沒有擊中目標,3,4,5,6,7,8,9表示擊中目標;因為射擊4次,故以每4個隨機數(shù)為一組,代表射擊4次的結(jié)果.經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了20組隨機數(shù):
5727 0293 7140 9857 0347
4373 8636 9647 1417 4698
0371 6233 2616 8045 6011
3661 9597 7424 6710 4281
據(jù)此估計,該射擊運動員射擊4次至少擊中2次的概率為( )
A. 0.8 B. 0.85 C. 0.9 D. 0.95
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知橢圓的左右頂點分別是,離心率為,設(shè)點,連接交橢圓于點,坐標原點是.
(1)證明: ;
(2)設(shè)三角形的面積為,四邊形的面積為, 若 的最小值為1,求橢圓的標準方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓其左,右焦點分別為,離心率為點又點在線段的中垂線上。
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)橢圓的左右頂點分別為,點在直線上(點不在軸上),直線與橢圓交于點直線與橢圓交于線段的中點為,證明: 。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知復數(shù)z=bi(b∈R),是純虛數(shù),i是虛數(shù)單位.
(1)求復數(shù)z;
(2)若復數(shù)(m+z)2所表示的點在第二象限,求實數(shù)m的取值范圍.
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