Question

設(shè)平面內(nèi)兩向量

a

=（2cosα，2sinα），

b

=（cosβ，-sinβ），且α+β=

π

2

，又k與t是兩個(gè)不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)．
（Ⅰ）若

x

=

a

+（t-3）

b

與

y

=-k

a

+t

b

垂直，求k關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式k=f（t）；
（Ⅱ）求函數(shù)k=f（t）的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專(zhuān)題：計(jì)算題

分析：（1）利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合

x

•

y

=0，得出k，f關(guān)系式，分離k得出k=f（t）
（2）由（1）k=f（t）=

t(t-3)

4

，利用二次函數(shù)性質(zhì)求最小值即可．

解答： 解：（1）∵

a

=（2cosα，2sinα），

b

=（cosβ，-sinβ），
∴

a

•

b

=2cosαcosβ-2sinαsinβ=2cos（α+β）=0
∵

x

⊥

y

，∴

x

•

y

=0，即-k

a

²+t（t-3）

b

²=0，
化簡(jiǎn)-4k+t（t-3）=0，
∴k=f（t）=

t(t-3)

4

（2）k=f（t）=

1

4

[（t-

3

2

）²-

9

4

]，當(dāng)t=

3

2

時(shí)，f（t）的最小值為-

9

16

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，函數(shù)思想，及函數(shù)最值求解．難度不大．