【題目】已知函數(shù)(其中).
(1)當時,求函數(shù)的圖像在處的切線方程;
(2)若恒成立,求的取值范圍;
(3)設,且函數(shù)有極大值點,求證: .
【答案】(1);(2);(3)見解析。
【解析】試題分析:
(1)根據(jù)導數(shù)的幾何意義可得所求的切線方程.(2)由題意分離參數(shù)可得在上恒成立,設,利用導數(shù)可求得,故,解得,即為所求范圍.(3)將求導后由及根與系數(shù)的關系可得極大值點,然后得到, .設,求導可得在上單調遞減,故,即不等式成立.
試題解析:
(1)當時, , ,
∴,
∴,
又,
∴所求的切線方程為,
即
(2)有題意得在上恒成立,
∴在上恒成立,
∵,
∴在上恒成立,
令,則
∴當時, , 單調遞增;
當時, , 單調遞減.
∴當時, 取得極大值,也為最大值,且,
∴,解得,
∴實數(shù)的取值范圍是.
(3)證明:由題意得, ,
∴,
①當時, , 單調遞增,無極值點.不符合題意;
②當或時,設的兩根為和,
∵為函數(shù)的極大值點,
∴,
由, ,知, ,
又由,得,
∵, ,
令,
則,
令, ,
則,
∴當時, , 單調遞增;
當時, , 單調遞減.
∴,
∴
∴在上單調遞減,
∴,
∴.
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【題目】4男3女站成一排,求滿足下列條件的排法共有多少種?
任何兩名女生都不相鄰,有多少種排法?
男甲不在首位,男乙不在末位,有多少種排法?
男生甲、乙、丙順序一定,有多少種排法?
男甲在男乙的左邊不一定相鄰有多少種不同的排法?
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【題目】在中, , , , 是中點(如圖1).將沿折起到圖2中的位置,得到四棱錐.
(1)將沿折起的過程中, 平面是否成立?并證明你的結論;
(2)若與平面所成的角為60°,且為銳角三角形,求平面和平面所成角的余弦值.
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【題目】已知動圓過定點,且在y軸上截得的弦MN的長為4.
(1)求動圓圓心的軌跡C的方程;
(2)過點的直線與曲線C交于A、B兩點,線段AB的垂直平分線與x軸交于點E(,0),求的取值范圍.
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【題目】已知等差數(shù)列{an}滿足:a3=7,a5+a7=26,{an}的前n項和為Sn.
(1)求an及Sn;
(2)令bn=(n∈N*),求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
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【題目】現(xiàn)有六支足球隊參加單循環(huán)比賽(即任意兩支球隊只踢一場比賽),第一周的比賽中,各踢了場, 各踢了場, 踢了場,且隊與隊未踢過, 隊與隊也未踢過,則在第一周的比賽中, 隊踢的比賽的場數(shù)是( )
A. B. C. D.
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【題目】2016年“雙節(jié)”期間,高速公路車輛較多.某調查公司在一服務區(qū)從七座以下小型汽車中按進服務區(qū)的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進行詢問調查,將他們在某段高速公路的車速分成六段: , , , , , 后得到如圖的頻率分布直方圖.
(I)某調查公司在采樣中,用到的是什么抽樣方法?
(II)求這40輛小型車輛車速的眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)的估計值;
(III)若從車速在的車輛中任抽取2輛,求車速在的車輛至少有一輛的概率.
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【題目】某校高中年級開設了豐富多彩的校本課程,甲、乙兩班各隨機抽取了5名學生的學分,用莖葉圖表示.,分別表示甲、乙兩班各自5名學生學分的標準差,則_______.(填“”“<”或“=”)
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【題目】質監(jiān)部門從某超市銷售的甲、乙兩種食用油中分別各隨機抽取100桶檢測某項質量指標,由檢測結果得到如下的頻率分布直方圖:
(Ⅰ)寫出頻率分布直方圖(甲)中的值;記甲、乙兩種食用油100桶樣本的質量指標的方差分別為,,試比較,的大小(只要求寫出答案);
(Ⅱ)估計在甲、乙兩種食用油中隨機抽取1捅,恰有一桶的質量指標大于20;
(Ⅲ)由頻率分布直方圖可以認為,乙種食用油的質量指標值服從正態(tài)分布.其中近似為樣本平均數(shù),近似為樣本方差,設表示從乙種食用油中隨機抽取10桶,其質量指標值位于(14.55,38.45)的桶數(shù),求的數(shù)學期望.
注:①同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)問的中點值作代表,計算得
②若,則,.
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