Question

【題目】在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且滿足 + =4cosC． （Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若tanA=2tanB，求sinA的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）已知等式整理得： =4cosC，即 =2abcosC，

由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ = ，

即 =2，

利用正弦定理化簡得： = =2；

（Ⅱ）∵tanA=2tanB，

∴ ，則sinAcosB=2sinBcosA，

∴a =2b ，

化簡得，3a2﹣3b2=c2，

聯(lián)立a2+b2=2c2得，a 、 ，

由余弦定理得，cosA= = = ，

由0＜A＜π得，sinA=

【解析】（Ⅰ）根據(jù)余弦定理和正弦定理化簡已知的式子，即可求出式子的值；（Ⅱ）利用商的關(guān)系化簡tanA=2tanB，再根據(jù)余弦定理和正弦定理化簡得到等式，聯(lián)立（1）的結(jié)論求出a、b、c的關(guān)系，利用余弦定理求出cosA，再由內(nèi)角的范圍和平方關(guān)系求出sinA的值．
【考點精析】關(guān)于本題考查的正弦定理的定義和余弦定理的定義，需要了解正弦定理:；余弦定理:;;才能得出正確答案．