Question

【題目】在四棱柱 中，底面 是正方形，且 ， ．

（1）求證： ；
（2）若動(dòng)點(diǎn) 在棱 上，試確定點(diǎn) 的位置，使得直線 與平面 所成角的正弦值為 ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接 ， ， ，

因?yàn)? ， ，
所以 和 均為正三角形，
于是 ．
設(shè) 與 的交點(diǎn)為 ，連接 ，則 ，
又四邊形 是正方形，所以 ，
而 ，所以 平面 ．
又 平面 ，所以 ，
又 ，所以 ．
（2）解：由 ，及 ，知 ，
于是 ，從而 ，
結(jié)合 ， ，得 底面 ，
所以 、 、 兩兩垂直．
如圖，以點(diǎn) 為坐標(biāo)原點(diǎn)， 的方向?yàn)? 軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系 ，
則 ， ， ， ， ， ，
， ，
由 ，易求得 ．
設(shè) （ ），
則 ，即 ，
所以 ．
設(shè)平面 的一個(gè)法向量為 ，
由 得 令 ，得 ，
設(shè)直線 與平面 所成角為 ，則
，
解得 或 （舍去），
故答案為：當(dāng) 為 的中點(diǎn)時(shí)，直線 與平面 所成角的正弦值為 ．
【解析】（1）通過(guò)線面垂直證明線線垂直.
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)，由平面法向量計(jì)算線面角求得點(diǎn)E的坐標(biāo)，從而確定點(diǎn)E的位置.