Question

21. 已知定義在R上的函數(shù)f（x）和數(shù)列{a_n}滿足下列條件：

a₁=a,　a_n=f（a_n－1）（n=2,3,4,…）,　a₂≠a₁,

f（a_n）－f（a_n－1）=k（a_n－a_n－1）（n=2,3,4,…）.

其中a為常數(shù)，k為非零常數(shù).

（Ⅰ）令b_n=a_n+1－a_n（n∈N*），證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；

（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；

（Ⅲ）當(dāng)|k|＜1時(shí)，求a_n.

Answer 1

21.本小題主要考查函數(shù)、數(shù)列、等比數(shù)列和極限等概念.考查靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

（Ⅰ）證明：由b₁=a₂－a₁≠0,可得

b₂=a₃－a₂=f（a₂）－f（a₁）=k（a₂－a₁）≠0.

由數(shù)學(xué)歸納法可證b_n=a_n+1－a_n≠0（n∈N*）.

由題設(shè)條件，當(dāng)n≥2時(shí),

=

=

=

=k.

因此，數(shù)列{b_n}是一個(gè)公比為k的等比數(shù)列.

（Ⅱ）解： 由（Ⅰ）知，b_n=k^n－1b₁=k^n－1（a₂－a₁）�。�n∈N*）.

當(dāng)k≠1時(shí)

b₁+b₂+…+b_n－1=（a₂－a₁）           （n≥2）;

當(dāng)k=1時(shí)

b₁+b₂+…+b_n－1=（n－1）（a₂－a₁）　              （n≥2）.

而           b₁+b₂+…+b_n－1=（a₂－a₁）+（a₃－a₂）+…+（a_n－a_n－1）

=a_n－a₁ （n≥2）.

所以，當(dāng)k≠1時(shí)

a_n－a₁=（a₂－a₁）　      （n≥2）.

上式對(duì)n=1也成立.所以，數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為

a_n=a+（f（a）－a）      （n∈N*）.

當(dāng)k=1時(shí)

a_n－a₁=（n－1）（a₂－a₁）　     （n≥2）.

上式對(duì)n=1也成立.所以，數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為

a_n=a+（n－1）（f（a）－a）      （n∈N*）.

（Ⅲ）解：當(dāng)|k|＜1時(shí)，

a_n=［a+（f（a）－a）］

=a+.