Question

已知定義在R上的單調(diào)遞增奇函數(shù)以f（x），若當(dāng)0≤θ≤

π

2

時(shí)，f（cosθ+msinθ）+f（-2m-2）＜0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：利用定義在R上的單調(diào)遞增奇函數(shù)，當(dāng)0≤θ≤

π

2

時(shí)，f（cosθ+msinθ）+f（-2m-2）＜0恒成立，等價(jià)于cosθ+msinθ＜2m+2，當(dāng)0≤θ≤

π

2

時(shí)恒成立，分離參數(shù)，確定其范圍，即可得到結(jié)論．

解答：解：∵當(dāng)0≤θ≤

π

2

時(shí)，f（cosθ+msinθ）+f（-2m-2）＜0恒成立，函數(shù)是奇函數(shù)，

∴當(dāng)0≤θ≤

π

2

時(shí)，f（cosθ+msinθ）＜f（2m+2）恒成立，
∵函數(shù)是定義在R上的單調(diào)遞增函數(shù)，
∴cosθ+msinθ＜2m+2，當(dāng)0≤θ≤

π

2

時(shí)恒成立，
∴m＞

2-cosθ

sinθ-2

令t=

cosθ-2

sinθ-2

，其幾何意義是（sinθ，cosθ）（0≤θ≤

π

2

）與（2，2）連線的斜率
∴

1

2

＜t＜2
∴-2＜

2-cosθ

sinθ-2

＜-

1

2

∴m＞-

1

2

．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的結(jié)合，考查恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．