Question

已知函數(shù)f（x）=x³+3ax²+bx+a²在x=-1和x=3處有極值．
（1）求a，b的值；
（2）求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）=x³+3ax²+bx+a²在x=-1和x=3處有極值，可知f′（x）=3x²+6ax+b的解為-1，3，從而可建立方程組，即可求得a，b的值；
（2）由（1）知，f′（x）=3x²-6x-9，求出切線的斜率、切點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到曲線y=f（x）在x=1處的切線方程．
解答：解：（1）由題意，∵函數(shù)f（x）=x³+3ax²+bx+a²在x=-1和x=3處有極值
∴f′（x）=3x²+6ax+b的解為-1，3
∴，∴
（2）由（1）知，f′（x）=3x²-6x-9
當(dāng)x=1時(shí)，f′（1）=3-6-9=-12
當(dāng)x=1時(shí)，f（1）=1-3-9+1=-10
∴曲線y=f（x）在x=1處的切線方程為y+10=-12（x-1），即12x+y-2=0．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的極值，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，正確運(yùn)用好導(dǎo)數(shù)是關(guān)鍵．