Question

14．已知${（{\frac{3}{{\sqrt{a}}}-\root{3}{a}}）^n}$的展開式的各項系數(shù)之和等于${（{4\root{3}-\frac{1}{{\sqrt{5b}}}}）^5}$展開式中的常數(shù)項，求${（{\frac{3}{{\sqrt{a}}}-\root{3}{a}}）^n}$展開式中含$\frac{1}{a}$的項的二項式系數(shù)．

Answer 1

分析 令a=1求得${（{\frac{3}{{\sqrt{a}}}-\root{3}{a}}）^n}$的展開式的各項系數(shù)之和，
由二項展開式的通項公式求得${（{4\root{3}-\frac{1}{{\sqrt{5b}}}}）^5}$展開式中的常數(shù)項，
從而求得n的值，再計算${（{\frac{3}{{\sqrt{a}}}-\root{3}{a}}）^7}$展開式中$含\frac{1}{a}$項的二項式系數(shù)．

解答 解：令a=1得${（{\frac{3}{{\sqrt{a}}}-\root{3}{a}}）^n}$的展開式的各項系數(shù)之和為2ⁿ，…（2分）
由二項展開式的通項公式得
${T_{r+1}}=C_5^r{（4\root{3}）^{5-r}}{（-\frac{1}{{\sqrt{5b}}}）^r}=C_5^r{4^{5-r}}{（-\frac{1}{{\sqrt{5}}}）^r}b_{\;}^{\frac{10-5r}{6}}$，
令10-5r=0，解得r=2，…（4分）
所以${（{4\root{3}-\frac{1}{{\sqrt{5b}}}}）^5}$的展開式中的常數(shù)項是第3項，
即${T_3}=C_5^2{4^3}{（-\frac{1}{{\sqrt{5}}}）^2}={2^7}$，
由2ⁿ=2⁷得n=7；…（8分）
對于${（{\frac{3}{{\sqrt{a}}}-\root{3}{a}}）^7}$，由二項展開式的通項公式得
${T_{r+1}}=C_7^r{（\frac{3}{{\sqrt{a}}}）^{7-r}}{（-\root{3}{a}）^r}={（-1）^r}C_7^r{3^{7-r}}a_{\;}^{\frac{5r-21}{6}}$，
所以$含\frac{1}{a}$的項是第4項，其二項式系數(shù)是$C_7^3=35$．…（12分）

點評 本題考查了二項式定理的應(yīng)用問題，也考查了二項式系數(shù)與常數(shù)項的應(yīng)用問題，是中檔題．