Question

6．某職稱晉級評定機構對參加某次專業(yè)技術考試的100人的成績進行了統(tǒng)計，繪制了頻率分布直方圖（如圖所示），規(guī)定80分及以上者晉級成功，否則晉級失�。�

	晉級成功	晉級失敗	合計
男	16
女			50
合計

（Ⅰ）求圖中a的值；
（Ⅱ）根據已知條件完成下面2×2列聯(lián)表，并判斷能否有85%的把握認為“晉級成功”與性別有關？
（Ⅲ）將頻率視為概率，從本次考試的所有人員中，隨機抽取4人進行約談，記這4人中晉級失敗的人數為X，求X的分布列與數學期望E（X）．
（參考公式：${k^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d）

P（K2≥k0）	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025
k0	0.780	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024

Answer 1

分析 （Ⅰ）由頻率和為1，列出方程求a的值；
（Ⅱ）由頻率分布直方圖求出晉級成功的頻率，計算晉級成功的人數，
填寫列聯(lián)表，計算觀測值，對照臨界值得出結論；
（Ⅲ）由頻率分布直方圖知晉級失敗的頻率，將頻率視為概率，
知隨機變量X服從二項分布，計算對應的概率值，寫出分布列，計算數學期望；

解答 解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖各小長方形面積總和為1，
可知（2a+0.020+0.030+0.040）×10=1，
解得a=0.005；
（Ⅱ）由頻率分布直方圖知，晉級成功的頻率為0.20+0.05=0.25，
所以晉級成功的人數為100×0.25=25（人），
填表如下：

	晉級成功	晉級失敗	合計
男	16	34	50
女	9	41	50
合計	25	75	100

假設“晉級成功”與性別無關，
根據上表數據代入公式可得${K^2}=\frac{{100×{{（16×41-34×9）}^2}}}{25×75×50×50}≈2.613＞2.072$，
所以有超過85%的把握認為“晉級成功”與性別有關；
（Ⅲ）由頻率分布直方圖知晉級失敗的頻率為1-0.25=0.75，
將頻率視為概率，則從本次考試的所有人員中，隨機抽取1人進行約談，
這人晉級失敗的概率為0.75，
所以X可視為服從二項分布，即$X～B（4，\frac{3}{4}）$，
$P（X=k）=C_4^k{（\frac{3}{4}）^k}{（\frac{1}{4}）^{4-k}}（k=0，1，2，3）$，
故$P（X=0）=C_4^0{（\frac{3}{4}）^0}{（\frac{1}{4}）^4}=\frac{1}{256}$，
$P（X=1）=C_4^1{（\frac{3}{4}）^1}{（\frac{1}{4}）^3}=\frac{3}{64}$，
$P（X=2）=C_4^2{（\frac{3}{4}）^2}{（\frac{1}{4}）^2}=\frac{54}{256}$，
$P（X=3）=C_4^3{（\frac{3}{4}）^3}{（\frac{1}{4}）^1}=\frac{108}{256}$，
$P（X=4）=C_4^4{（\frac{3}{4}）^4}{（\frac{1}{4}）^0}=\frac{81}{256}$，
所以X的分布列為

X	0	1	2	3	4
P（X=k）	$\frac{1}{256}$	$\frac{3}{64}$	$\frac{54}{256}$	$\frac{108}{256}$	$\frac{81}{256}$

數學期望為$E（X）=4×\frac{3}{4}=3$，
或（$E（X）=\frac{1}{256}×0+\frac{3}{64}×1+\frac{54}{256}×2+\frac{108}{256}×3+\frac{81}{256}×4=3$）．

點評 本題考查了頻率分布直方圖與獨立性檢驗和離散型隨機變量的分布列、數學期望的應用問題，是中檔題．