如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，AC∩BD=O，PA⊥底面ABCD，OE⊥PC于E．
（1）求證：PC⊥平面BDE；
（2）設PA=AB=2，求二面角B-PC-D的大�。�
分析：（1）利用正方形的性質(zhì)、線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理即可證明；
（2）利用（1）的結(jié)論可得∠BED即為二面角B-PC-D的平面角，求出即可．
解答：（1）證明：由正方形ABCD可得：對角線BD⊥AC．
∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD，
又PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，
∴BD⊥PC．
∵OE⊥PC，BD∩OE=O，
∴PC⊥平面BDE．
（2）由（1）可知：PC⊥平面BDE．
∴PC⊥BE，PC⊥DE，
∴∠BED即為二面角B-PC-D的平面角．
∵Rt△PAC∽Rt△OEC，∴
OE
OC
=
PA
PC
，
∴OE=
OC×PA
PA2+AC2
=
2
×2
22+(2
2
)2
=
6
3
．
由（1）可知：BD⊥平面PAC，∴BD⊥OE．
在Rt△BOE中，tan∠BEO=
OB
OE
=
2
6
3
=
3
，∴∠BEO=60°．
同理可得：∠DEO=60°．
∴∠BED=120°．
∴二面角B-PC-D的平面角∠BED=120°．即二面角B-PC-D為120°．
點評：熟練掌握正方形的性質(zhì)、線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理、二面角的定義及求法是解題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，
E是PC的中點．求證：
（Ⅰ）CD⊥AE；
（Ⅱ）PD⊥平面ABE．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，M為AP的中點．
（1）求證：AD⊥PB；
（2）求三棱錐P-MBD的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，BC=
2
，且側(cè)面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD．
（1）求證：PD⊥AC；
（2）在棱PA上是否存在一點E，使得二面角E-BD-A的大小為45°，若存在，試求
AE
AP
的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=
3
，點F是PB中點．
（Ⅰ）若E為BC中點，證明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）若E是BC邊上任一點，證明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=
3
3
，求直線PA與平面PDE所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥平面ABCD，ABCD是直角梯形，DA⊥AB，CB⊥AB，PA=2AD=BC=2，AB=2
2
，設PC與AD的夾角為θ．
（1）求點A到平面PBD的距離；
（2）求θ的大小；當平面ABCD內(nèi)有一個動點Q始終滿足PQ與AD的夾角為θ，求動點Q的軌跡方程．

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