Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=lnx﹣ax2﹣bx（a，b∈R），g（x）= ﹣lnx．
（1）當(dāng)a=﹣1時(shí)，f（x）與g（x）在定義域上的單調(diào)性相反，求b的取值范圍；
（2）當(dāng)a，b都為0時(shí)，斜率為k的直線與曲線y=f（x）交A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）（x1＜x2）于兩點(diǎn)，求證：x1＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a=﹣1∴f（x）=lnx+x2﹣bx，由題意可知，f（x）與g（x）的定義域都為（0，+∞）．

∵ =

∴g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．

又a=﹣1時(shí)，f（x）與g（x）在定義域上的單調(diào)性相反，

∴f（x）=lnx+x2﹣bx在（0，+∞）上單調(diào)遞增．

∴ 對(duì)x∈（0，+∞）恒成立

即 對(duì)x∈（0，+∞）恒成立，∴只需 ，

∵x＞0，∴ （當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立），

∴ ，∴b的取值范圍為 ．

（2）證明： ．

要證 ，即證 ，

等價(jià)于證 ，令 ，

則只要證 ，由t＞1，知lnt＞0，

故等價(jià)于證lnt＜t﹣1＜tlnt（t＞1），（*）

設(shè)m（t）=t﹣1﹣lnt（t＞1），則 ，

故m（t）在（1，+∞）上是增函數(shù)，

當(dāng)t＞1時(shí)，m（t）=t﹣1﹣lnt＞m（1）=0，即t﹣1＞lnt．

設(shè)h（t）=tlnt﹣（t﹣1）（t＞1），則h'（t）=lnt＞0（t＞1），

故h（t）在（1，+∞）上是增函數(shù)．

當(dāng)t＞1時(shí)，h（t）=tlnt﹣（t﹣1）＞h（1）=0，即t﹣1＜tlnt（t＞1）．

由可知（*）成立，故

【解析】（1）化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）=lnx+x2﹣bx，求出f（x）與g（x）的定義域都為（0，+∞）．求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，利用f（x）與g（x）在定義域上的單調(diào)性相反，推出 對(duì)x∈（0，+∞）恒成立，即 對(duì)x∈（0，+∞）恒成立利用基本不等式求解最值，即可．（2） ．要證 ，等價(jià)于證 ，令 ，等價(jià)于證lnt＜t﹣1＜tlnt（t＞1），設(shè)m（t）=t﹣1﹣lnt（t＞1），則 ，通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化求解即可．
【考點(diǎn)精析】掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解答本題的根本，需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減．