Question

7．已知函數(shù)f（x）=-x+$\frac{m}{x}$-1（x≠0）．
（1）當(dāng)m=2時(shí)，判斷f（x）在（-∞，0）的單調(diào)性，并用定義證明．
（2）若對(duì)任意x∈（-∞，0），不等式f（x）＞0恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)m=2時(shí)，函數(shù)f（x）=-x+$\frac{2}{x}$-1在（-∞，0）遞減．運(yùn)用單調(diào)性的定義證明，注意作差、變形和定符號(hào)、下結(jié)論幾個(gè)步驟；
（2）由題意可得m＜x²+x在x＜0恒成立，運(yùn)用二次函數(shù)的最值的求法，可得最小值，進(jìn)而得到m的范圍．

解答 解：（1）當(dāng)m=2時(shí)，函數(shù)f（x）=-x+$\frac{2}{x}$-1在（-∞，0）遞減．
證明：設(shè)x₁＜x₂＜0，則f（x₁）-f（x₂）=（-x₁-1+$\frac{2}{{x}_{1}}$）-（-x₂-1+$\frac{2}{{x}_{2}}$）
=（x₂-x₁）（1+$\frac{2}{{x}_{1}{x}_{2}}$），由x₁＜x₂＜0，可得x₂-x₁＞0，
1+$\frac{2}{{x}_{1}{x}_{2}}$＞0，即有f（x₁）-f（x₂）＞0，
故f（x）在（-∞，0）為減函數(shù)；
（2）任意x∈（-∞，0），不等式f（x）＞0恒成立，
即為m＜x²+x在x＜0恒成立，
由y=x²+x=（x+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
當(dāng)x=-$\frac{1}{2}$時(shí)，取得最小值-$\frac{1}{4}$，
即為m＜-$\frac{1}{4}$．則m的取值范圍是（-∞，-$\frac{1}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，考查不等式恒成立問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用參數(shù)分離和二次函數(shù)的最值的求法，屬于中檔題．