Question

11．向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$所在的直線分別是l₁，l₂．
（1）若|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|，試探討l₁與l₂的關(guān)系；
（2）試探討（1）的逆命題是否成立．

Answer 1

分析 （1）將條件兩邊平方，化簡可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，可得直線l₁與l₂垂直；
（2）（1）的逆命題：若直線l₁⊥l₂，則|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|，也成立．由向量垂直的條件和完全平方公式，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）若|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|，
即為（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）²=（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）²，
即$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow$²+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow$²-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$，
即有$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，
則$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，
即有直線l₁與l₂垂直；
（2）（1）的逆命題：若直線l₁⊥l₂，
則|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|，也成立．
由直線l₁⊥l₂，可得$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，
即$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，即有$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow$²+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow$²-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$，
則（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）²=（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）²，
即有|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|．

點評 本題考查向量的數(shù)量積的性質(zhì)，考查向量垂直的條件：數(shù)量積為0，向量的平方即為模的平方．考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題．